Bài tập 4, § 3

(a) Chứng minh rằng $\frac{\sin x}{\sqrt{x}} \sim \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \left( 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right)$, nhưng tích phân $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \, dt$ hội tụ trong khi tích phân $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \left( 1 + \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \right) dt$ là vô hạn.

(b) Chứng minh rằng các tích phân $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$ và $\int_a^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$ đều hội tụ nhưng $\int_a^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$ không không đáng kể đối với $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$, mặc dù $\sin^2 t / t^2 \ll \sin t / t$.

(c) Xét hai hàm liên tục nhận giá trị trong $\mathbf{R}^2$, xác định trên $[1, +\infty[$:

Chứng minh rằng chúng không triệt tiêu tại bất kỳ giá trị nào của $x$, rằng $f \sim g$ khi $x$ tiến tới $+\infty$, rằng các tích phân $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ và $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$ hội tụ, nhưng rằng $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ không tương đương với $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$ khi $x$ tiến tới $+\infty$.