Exercice 4, § 3

a) Montrer que l’on a $\frac{\sin x}{\sqrt{x}} \sim \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \left(1 + \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right)$, mais que l’intégrale $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} dt$ est convergente et l’intégrale $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \left(1 + \frac{\sin t}{\sqrt{t}}\right) dt$ infinie.

b) Montrer que les intégrales $\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ et $\int_a^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} dt$ sont toutes deux convergentes, mais que $\int_x^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} dt$ n’est pas négligeable devant $\int_x^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$, bien que l’on ait $\sin^2 t / t^2 \ll \sin t / t$.

c) On considère les deux fonctions continues à valeurs dans $\mathbf{R}^2$, définies dans $(1, +\infty[$:

Montrer qu’elles ne s’annulent pour aucune valeur de $x$, qu’on a $f \sim g$ pour $x$ tendant vers $+\infty$, que les intégrales $\int_a^{+\infty} f(t) dt$ et $\int_a^{+\infty} g(t) dt$ sont convergentes, mais que $\int_x^{+\infty} f(t) dt$ n’est pas équivalente à $\int_x^{+\infty} g(t) dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.