习题 2, § 1

令 E 为由函数 $x^n \ (n \in \mathbf{N})$、$e^{\lambda x} \ (\lambda \in \mathbf{C}, \lambda \neq 0)$ 和 $|x+\mu| \ (\mu \in \mathbf{R})$ 生成的C 上的向量空间。

a) 证明前面的函数形式基对于 E。

b) 令 U 为由条件在 E 上定义的合成运算符：对于$\lambda \neq 0$，$U_0^\xi(\xi^n) = (n!)^2$、$U(e^{\lambda x}) = e^{\lambda x}$，对于$\mu \in \mathbf{R}$，$U(|x+\mu|) = |x+\mu|$。指标矩阵$u(\lambda)$是常数1，但级数与一般项$n! \lambda^n$对于任何值$\lambda \neq 0$都不收敛。

c) 令V为合成运算符，由条件$V(x^n) = x^n$、$V(|x+\mu|) = |x+\mu|$、$V(e^{\lambda x}) = 0$对$\lambda \neq 0$定义；对于$\lambda = 0$，指示矩阵$v(\lambda)$等于1，对于$\lambda \neq 0$等于0，因此与级数$\sum_{n=0}^\infty \alpha_n \lambda^n$的和不同，其中$\alpha_n = V_0^\xi(\xi^n)/n!$。

d) 令 W 为在 E 上定义的合成运算符

证明$VW \neq WV$。