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§ 1。广义泰勒展开
1. 多项式代数的合成运算符
设 K 为特征 0 的交换域，K 上的一个不定多项式的 K[X] 代数（代数，IV.1）；在整个截面中，通过K[X]上的运算符，我们意味着向量空间K[X]（在K上）的线性映射U自身；因为对于这个空间，单项式 X n ( n ⩾ 0 ) X^n \ (n \geqslant 0) X n ( n ⩾ 0 ) U ( X n ) U(X^n) U ( X n ) f ( X ) = ∑ k = 0 ∞ λ k X k f(X) = \sum_{k=0}^\infty \lambda_k X^k f ( X ) = ∑ k = 0 ∞ λ k X k λ k ∈ K \lambda_k \in K λ k ∈ K
U ( f ) = ∑ k = 0 ∞ λ k U ( X k ) .
U(f) = \sum_{k=0}^\infty \lambda_k U(X^k).
U ( f ) = k = 0 ∑ ∞ λ k U ( X k ) . g ( X ) = ∑ k = 0 ∞ γ k X k g(X) = \sum_{k=0}^\infty \gamma_k X^k g ( X ) = ∑ k = 0 ∞ γ k X k γ k ∈ G \gamma_k \in G γ k ∈ G U ( g ) = ∑ k = 0 ∞ γ k U ( X k ) U(g) = \sum_{k=0}^\infty \gamma_k U(X^k) U ( g ) = ∑ k = 0 ∞ γ k U ( X k ) 特别考虑 G = K[Y] 的情况；那么 G[X] 是 K 上两个不定式多项式的环 K[X,Y]；为了避免混淆，我们用 U X U_X U X g ( X , Y ) = ∑ k = 0 ∞ γ k ( Y ) X k g(X, Y) = \sum_{k=0}^\infty \gamma_k(Y) X^k g ( X , Y ) = ∑ k = 0 ∞ γ k ( Y ) X k γ k ( Y ) ∈ K [ Y ] \gamma_k(Y) \in K[Y] γ k ( Y ) ∈ K [ Y ] U X ( g ) = ∑ k = 0 ∞ γ k ( Y ) U ( X k ) U_X(g) = \sum_{k=0}^\infty \gamma_k(Y) U(X^k) U X ( g ) = ∑ k = 0 ∞ γ k ( Y ) U ( X k ) U X U_X U X g ( X , Y ) = ∑ h = 0 ∞ β h ( X ) Y h g(X, Y) = \sum_{h=0}^\infty \beta_h(X) Y^h g ( X , Y ) = ∑ h = 0 ∞ β h ( X ) Y h U X ( g ) = ∑ h = 0 ∞ U ( β h ) Y h U_X(g) = \sum_{h=0}^\infty U(\beta_h) Y^h U X ( g ) = ∑ h = 0 ∞ U ( β h ) Y h
在K[X]的典范同构到K[Y]上，将Y与X运算符U变换关联到K[Y]上的运算符，我们将其表示为U Y U_Y U Y U Y ( f ( Y ) ) U_Y(f(Y)) U Y ( f ( Y )) U ( f ( X ) ) = U X ( f ( X ) ) U(f(X)) = U_X(f(X)) U ( f ( X )) = U X ( f ( X )) U Y U_Y U Y U Y U_Y U Y g ( X , Y ) = ∑ h = 0 ∞ β h ( X ) Y h g(X, Y) = \sum_{h=0}^\infty \beta_h(X) Y^h g ( X , Y ) = ∑ h = 0 ∞ β h ( X ) Y h
U Y ( g ( X , Y ) ) = ∑ h = 0 ∞ β h ( X ) U Y ( Y h ) .
U_Y(g(X, Y)) = \sum_{h=0}^\infty \beta_h(X) U_Y(Y^h).
U Y ( g ( X , Y )) = h = 0 ∑ ∞ β h ( X ) U Y ( Y h ) . 作为这些扩张中的例，我们引用K[X]上的推导运算符D（算法，IV.6），它给出了K[X,Y]上的部分推导运算符D_X和D_Y。
对于任何多项式 f ∈ K [ X ] f \in K[X] f ∈ K [ X ] T Y ( f ) T_Y(f) T Y ( f ) f ( X + Y ) f(X + Y) f ( X + Y ) T Y T_Y T Y
有人说K[X]上的算子U是合成算子，如果它与平移算子可交换，即如果U X T Y = T Y U U_X T_Y = T_Y U U X T Y = T Y U
在其他字中，如果f f f g = U ( f ) g = U(f) g = U ( f ) g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y ) ) g(X + Y) = U_X(f(X + Y)) g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y ))
从定义可以立即得出，对于每个多项式f ( X ) ∈ K [ X ] f(X) \in K[X] f ( X ) ∈ K [ X ]
U X ( f ( X + Y ) ) = U Y ( f ( X + Y ) ) .
U_X(f(X + Y)) = U_Y(f(X + Y)).
U X ( f ( X + Y )) = U Y ( f ( X + Y )) . (1)
对于每个λ ∈ K \lambda \in K λ ∈ K f ( X ) f(X) f ( X ) f ( X + λ ) f(X + \lambda) f ( X + λ )
被以下引用 1 被以下引用 § 1. 。广义泰勒展开
K[X] 上的推导 D 是合成运算符（*cf.* 命题 1）。
事实上，泰勒公式表明，对于每个多项式f ∈ K [ X ] f \in K[X] f ∈ K [ X ]
U X ( f ( X + Y ) ) = U X ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! Y k D k f ( X ) ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! Y k U ( D k f ( X ) ) ;
U_X(f(X + Y)) = U_X \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Y^k D^k f(X) \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Y^k U(D^k f(X));
U X ( f ( X + Y )) = U X ( k = 0 ∑ ∞ k ! 1 Y k D k f ( X ) ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 Y k U ( D k f ( X )) ; 如果有人放 g = U ( f ) g = U(f) g = U ( f )
g ( X + Y ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! Y k D k g ( X ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! Y k D k ( U ( f ( X ) ) ) ;
g(X + Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Y^k D^k g(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Y^k D^k (U(f(X)));
g ( X + Y ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 Y k D k g ( X ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 Y k D k ( U ( f ( X ))) ; 为了使 U 成为合成运算符，对于每个整数 k ≥ 1 k \geq 1 k ≥ 1 U D = D U UD = DU U D = D U U D k = D k U UD^k = D^k U U D k = D k U k ≥ 1 k \geq 1 k ≥ 1 k k k U D k = D k U UD^k = D^k U U D k = D k U g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y ) ) g(X + Y) = U_X(f(X + Y)) g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y ))
对于每个多项式 f ∈ K [ X , Y ] f \in K[X, Y] f ∈ K [ X , Y ] U 0 ( f ) U_0(f) U 0 ( f ) 独立于 X 表示多项式 U X ( f ) U_X(f) U X ( f ) f ∈ K [ X ] f \in K[X] f ∈ K [ X ] U 0 ( f ) U_0(f) U 0 ( f ) U ( f ) U(f) U ( f ) U 0 U_0 U 0 K [ X ] K[X] K [ X ] f ∈ K [ X ] f \in K[X] f ∈ K [ X ] g = U ( f ) g = U(f) g = U ( f )
g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y ) ) = U X ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! X k D k f ( Y ) ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! U ( X k ) D k f ( Y )
g(X + Y) = U_X(f(X + Y)) = U_X \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^k D^k f(Y) \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} U(X^k) D^k f(Y)
g ( X + Y ) = U X ( f ( X + Y )) = U X ( k = 0 ∑ ∞ k ! 1 X k D k f ( Y ) ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 U ( X k ) D k f ( Y ) 如果在这个公式中，1个替换X除以0，则得到1
g ( Y ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! U 0 ( X k ) D k f ( Y ) .
g(Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} U_0(X^k) D^k f(Y).
g ( Y ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 U 0 ( X k ) D k f ( Y ) . 由此可见
U ( f ( X ) ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! μ k D k f ( X ) (2)
U(f(X)) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \mu_k D^k f(X) \tag{2}
U ( f ( X )) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 μ k D k f ( X ) ( 2 ) 其中 μ k \mu_k μ k 是多项式 U ( X k ) U(X^k) U ( X k )
这个公式完全显示了μ k \mu_k μ k U U U ( μ n ) (\mu_n) ( μ n ) U U U
U = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! μ k D k . (3)
U = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \mu_k D^k. \tag{3}
U = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 μ k D k . ( 3 ) 这个公式可以用拓扑语言解释如下：如果考虑K [ X ] K[X] K [ X ] K [ X ] K[X] K [ X ] E n d ( K [ X ] ) \mathrm{End}(K[X]) End ( K [ X ]) 1 k ! μ k D k \frac{1}{k!} \mu_k D^k k ! 1 μ k D k E n d ( K [ X ] ) \mathrm{End}(K[X]) End ( K [ X ]) U U U Gen. Top. , III, p. 269)。
公式 (3) 表明，对于 K (Alg. , IV.41) 上的一个不确定中的每个*形式级数* u ( S ) = ∑ k = 0 ∞ α k S k u(S) = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k S^k u ( S ) = ∑ k = 0 ∞ α k S k U = ∑ k = 0 ∞ α k D k U = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k U = ∑ k = 0 ∞ α k D k u ( D ) u(D) u ( D )
映射与每个正式的级数* u ( S ) = ∑ k = 0 ∞ α k S k u(S) = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k S^k u ( S ) = ∑ k = 0 ∞ α k S k 在一个不确定的过 K 关联合成运算符 u ( D ) = ∑ k = 0 ∞ α k D k u(D) = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k u ( D ) = ∑ k = 0 ∞ α k D k 在 K [ X ] K[X] K [ X ] 是代数 K [ [ S ] ] K[[S]] K [[ S ]] 正式的同构级数到代数 Γ \Gamma Γ
人们立即验证这个映射是同态。仍有待观察它是单射的，在其他字中，关系∑ k = 0 ∞ α k D k = 0 \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k = 0 ∑ k = 0 ∞ α k D k = 0 k k k α k = 0 \alpha_k = 0 α k = 0 h ! α h h! \alpha_h h ! α h ∑ k = 0 ∞ α k D k \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k ∑ k = 0 ∞ α k D k X h X^h X h
K [ X ] K[X] K [ X ] Γ \Gamma Γ
如果U U U f ( X ) f(X) f ( X ) f ( X + λ ) f(X + \lambda) f ( X + λ ) λ ∈ K \lambda \in K λ ∈ K U 0 ( X k ) = λ k U_0(X^k) = \lambda^k U 0 ( X k ) = λ k U = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( λ D ) k U = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (\lambda D)^k U = ∑ k = 0 ∞ k ! 1 ( λ D ) k e λ e^{\lambda} e λ ∑ n = 0 ∞ 1 n ! S n \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} S^n ∑ n = 0 ∞ n ! 1 S n e S e^S e S exp ( S ) \exp(S) exp ( S ) K [ [ S ] ] K[[S]] K [[ S ]] U = e λ D U = e^{\lambda D} U = e λ D K K K K ( Y ) K(Y) K ( Y ) T Y T_Y T Y e Y D e^{YD} e Y D
此外，在形式级数的环K [ [ S , T ] ] K[[S, T]] K [[ S , T ]] K K K
( exp S ) ( exp T ) = ∑ p , q S p p ! T q q !
(\exp S)(\exp T) = \sum_{p,q} \frac{S^p}{p!} \frac{T^q}{q!}
( exp S ) ( exp T ) = p , q ∑ p ! S p q ! T q = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( ( n 0 ) S n + ( n 1 ) S n − 1 T + ⋯ + ( n n ) T n )
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \binom{n}{0} S^n + \binom{n}{1} S^{n-1} T + \cdots + \binom{n}{n} T^n \right)
= n = 0 ∑ ∞ n ! 1 ( ( 0 n ) S n + ( 1 n ) S n − 1 T + ⋯ + ( n n ) T n ) = exp ( S + T )
= \exp(S + T)
= exp ( S + T ) 特别是
( exp S ) ( exp ( − S ) ) = 1
(\exp S)(\exp(-S)) = 1
( exp S ) ( exp ( − S )) = 1 这证明了我们引入的记号是正确的。
引用了 1 引用了 III § 2. 。指数和循环函数的展开以及与它们相关的函数
2. 附加到合成运算符的上诉多项式
给定合成运算符U = ∑ k = 0 ∞ α k D k ≠ 0 U = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k \neq 0 U = ∑ k = 0 ∞ α k D k = 0 p p p k k k α k ≠ 0 \alpha_k \neq 0 α k = 0 p p p U U U
阶 0 的每个合成运算符在 K [ X ] \mathbf{K}[X] K [ X ] Γ \Gamma Γ
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
事实上，一个形式化的级数∑ k = 0 ∞ α k S k \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k S^k ∑ k = 0 ∞ α k S k α 0 ≠ 0 \alpha_0 \neq 0 α 0 = 0 K [ [ S ] ] \mathbf{K}[[S]] K [[ S ]]
设U U U p p p U ( f ) = 0 U(f) = 0 U ( f ) = 0 < p < p < p f f f n ≥ p n \geq p n ≥ p f ≠ 0 f \neq 0 f = 0 U ( f ) U(f) U ( f ) n − p n - p n − p ≠ 0 \neq 0 = 0
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
This is an immediate consequence of formula (2) of VI, p. 271 and of the definition of the order of U U U
显然，阶 p p p U U U U = D p V = V D p U = D^p V = V D^p U = D p V = V D p V V V
设U = D p V U = D^p V U = D p V K [ X ] \mathbf{K}[X] K [ X ] p p p u n ( X ) = V − 1 ( X n ) u_n(X) = V^{-1}(X^n) u n ( X ) = V − 1 ( X n ) U U U n n n
如果V − 1 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! β k D k V^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \beta_k D^k V − 1 = ∑ k = 0 ∞ k ! 1 β k D k β 0 ≠ 0 \beta_0 \neq 0 β 0 = 0
u n ( X ) = ∑ k = 0 n ( n k ) β k X n − k .
u_n(X) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \beta_k X^{n-k}.
u n ( X ) = k = 0 ∑ n ( k n ) β k X n − k . 验证 u n u_n u n n n n
u n ( 0 ) = β n .
u_n(0) = \beta_n.
u n ( 0 ) = β n .
Appell 多项式附加到 U U U
d u n d X = n u n − 1
\frac{d u_n}{d X} = n \, u_{n-1}
d X d u n = n u n − 1 (7)
u n ( X + Y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) u n − k ( X ) Y k
u_n(X + Y) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u_{n-k}(X) Y^k
u n ( X + Y ) = k = 0 ∑ n ( k n ) u n − k ( X ) Y k (8)
U ( u n ( X ) ) = n ! ( n − p ) ! X n − p .
U(u_n(X)) = \frac{n!}{(n-p)!} X^{n-p}.
U ( u n ( X )) = ( n − p )! n ! X n − p . (9)
这些公式实际上分别相当于以下关系（考虑到定义2）：
D V − 1 = V − 1 D (10)
DV^{-1} = V^{-1}D \tag{10}
D V − 1 = V − 1 D ( 10 ) ( exp ( Y D X ) ) V X − 1 = V X − 1 exp ( Y D X ) (11)
(\exp(YD_X))V_X^{-1} = V_X^{-1}\exp(YD_X) \tag{11}
( exp ( Y D X )) V X − 1 = V X − 1 exp ( Y D X ) ( 11 ) U V − 1 = D p . (12)
UV^{-1} = D^p. \tag{12}
U V − 1 = D p . ( 12 )
对于每个多项式f ∈ K [ X ] f \in K[X] f ∈ K [ X ] p p p
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
f ( p ) ( X + Y ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! U ( f ( k ) ( X ) ) u k ( Y ) (13)
f^{(p)}(X + Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} U \left( f^{(k)}(X) \right) u_k(Y) \tag{13}
f ( p ) ( X + Y ) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 U ( f ( k ) ( X ) ) u k ( Y ) ( 13 ) （广义泰勒展开） 。
事实上，如果一个人放入 U = D p V = V D p U = D^p V = V D^p U = D p V = V D p
V X − 1 ( f ( X + Y ) ) = V Y − 1 ( f ( X + Y ) ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( X ) u k ( Y ) (14)
V_X^{-1}(f(X + Y)) = V_Y^{-1}(f(X + Y)) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)}(X) u_k(Y) \tag{14}
V X − 1 ( f ( X + Y )) = V Y − 1 ( f ( X + Y )) = k = 0 ∑ ∞ k ! 1 f ( k ) ( X ) u k ( Y ) ( 14 ) 泰勒公式并通过定义。 VI、p. 273 中的 2 个；只需将运算符
U U U 应用于公式(14)的第一个和最后一个项即可获得(13)。
3. 生成的级数对于上诉多项式
令 E 为不定 S 中*形式级数* 的环，系数为多项式 K [ X ] K[X] K [ X ] Alg. , IV.41)；在正式级数g ( X , S ) = ∑ n = 0 ∞ α n ( X ) S n g(X, S) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n(X) S^n g ( X , S ) = ∑ n = 0 ∞ α n ( X ) S n α n \alpha_n α n K [ X ] K[X] K [ X ] K [ X ] K[X] K [ X ] U U U U X ( g ( X , S ) ) = ∑ n = 0 ∞ U ( α n ) S n U_X(g(X, S)) = \sum_{n=0}^{\infty} U(\alpha_n) S^n U X ( g ( X , S )) = ∑ n = 0 ∞ U ( α n ) S n U X U_X U X K [ [ S ] ] K[[S]] K [[ S ]] K K K K [ X ] K[X] K [ X ] U U U θ ∈ K [ [ S ] ] \theta \in K[[S]] θ ∈ K [[ S ]] g ∈ E g \in E g ∈ E U X ( θ g ) = θ U X ( g ) U_X(\theta g) = \theta U_X(g) U X ( θ g ) = θ U X ( g ) U X U_X U X
令U = D p V = u ( D ) U = D^p V = u(D) U = D p V = u ( D ) K [ X ] K[X] K [ X ] p p p u ( S ) u(S) u ( S ) K [ [ S ] ] K[[S]] K [[ S ]] p p p
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
U X ( exp ( X S ) ) = u ( S ) exp ( X S ) (15)
U_X \left( \exp(XS) \right) = u(S) \exp(XS) \tag{15}
U X ( exp ( X S ) ) = u ( S ) exp ( X S ) ( 15 ) S p u ( S ) exp ( X S ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! u n ( X ) S n (16)
\frac{S^p}{u(S)} \exp(XS) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u_n(X) S^n \tag{16}
u ( S ) S p exp ( X S ) = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 u n ( X ) S n ( 16 ) n 是附加到 U 的指标 n 的阿佩尔多项式。
由学校到th。 1 (VI, p. 271)，建立 (15) 足以表明对于每个多项式 f ( Y ) ∈ K [ Y ] f(Y) \in K[Y] f ( Y ) ∈ K [ Y ]
U X ( exp ( X D Y ) ( f ( Y ) ) ) = u ( D Y ) ( exp ( X D Y ) ( f ( Y ) ) ) .
U_X \left( \exp(XD_Y)(f(Y)) \right) = u(D_Y)(\exp(XD_Y)(f(Y))).
U X ( exp ( X D Y ) ( f ( Y )) ) = u ( D Y ) ( exp ( X D Y ) ( f ( Y ))) . 现在(17)中的第一个项是U X ( f ( X + Y ) ) U_X(f(X + Y)) U X ( f ( X + Y )) U = u ( D ) U = u(D) U = u ( D ) U Y ( f ( X + Y ) ) U_Y(f(X + Y)) U Y ( f ( X + Y ))
现在只需将（15）应用于合成运算符V − 1 = D p / u ( D ) V^{-1} = D^p / u(D) V − 1 = D p / u ( D )
V − 1 ( exp ( X S ) ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! u n ( X ) S n .
V^{-1}(\exp(XS)) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u_n(X) S^n.
V − 1 ( exp ( X S )) = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 u n ( X ) S n . 注 (16) 也可以通过将形式级数 S p / u ( S ) S^p / u(S) S p / u ( S ) exp ( X S ) \exp(XS) exp ( X S )
有人说，形式级数 (16) 是附加到 U U U
4. 伯努利多项式
考虑合成运算符 U U U
U ( f ( X ) ) = f ( X + 1 ) − f ( X ) ;
U(f(X)) = f(X + 1) - f(X);
U ( f ( X )) = f ( X + 1 ) − f ( X ) ; 可以写 U = e D − 1 U = e^D - 1 U = e D − 1 U = D V U = DV U = D V V − 1 = D e D − 1 V^{-1} = \frac{D}{e^D - 1} V − 1 = e D − 1 D n n n U U U n n n B n ( X ) B_n(X) B n ( X ) b n = B n ( 0 ) b_n = B_n(0) b n = B n ( 0 )
B n ( X ) = ∑ k = 0 n ( n k ) b n − k X k
B_n(X) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b_{n-k} X^k
B n ( X ) = k = 0 ∑ n ( k n ) b n − k X k
S e X S e S − 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! B n ( X ) S n
\frac{S \, e^{XS}}{e^S - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} B_n(X) S^n
e S − 1 S e X S = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 B n ( X ) S n 特别是
S e S − 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! b n S n
\frac{S}{e^S - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} b_n S^n
e S − 1 S = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 b n S n VI、p. 273的公式 (7) 和 (9)，对于伯努利多项式，给出关系
d B n d X = n B n − 1 ( X )
\frac{dB_n}{dX} = n B_{n-1}(X)
d X d B n = n B n − 1 ( X )
B n ( X + 1 ) − B n ( X ) = n X n − 1 .
B_n(X + 1) - B_n(X) = n X^{n-1}.
B n ( X + 1 ) − B n ( X ) = n X n − 1 . 特别是，对于n > 1 n > 1 n > 1 B n ( 1 ) − B n ( 0 ) = 0 B_n(1) - B_n(0) = 0 B n ( 1 ) − B n ( 0 ) = 0
∑ m = 0 n − 1 ( n m ) b m = 0 (for n > 1 )
\sum_{m=0}^{n-1} \binom{n}{m} b_m = 0 \quad \text{(for } n > 1)
m = 0 ∑ n − 1 ( m n ) b m = 0 (for n > 1 ) 这使得人们能够一步一步地从计算到 b n b_n b n
S e S − 1 = − S 2 + S 2 e S + 1 e S − 1
\frac{S}{e^S - 1} = -\frac{S}{2} + \frac{S}{2} \frac{e^S + 1}{e^S - 1}
e S − 1 S = − 2 S + 2 S e S − 1 e S + 1 自 (VI, p. 272, 公式 (5))
e − S + 1 e − S − 1 = − e S + 1 e S − 1
\frac{e^{-S} + 1}{e^{-S} - 1} = -\frac{e^S + 1}{e^S - 1}
e − S − 1 e − S + 1 = − e S − 1 e S + 1 我们可以看到，在 S 2 e S + 1 e S − 1 \frac{S}{2} \frac{e^S + 1}{e^S - 1} 2 S e S − 1 e S + 1
b 0 = 1 , b 1 = − 1 2 , b 2 n − 1 = 0 for n > 1.
b_0 = 1, \qquad b_1 = -\frac{1}{2}, \qquad b_{2n-1} = 0 \quad \text{for } n > 1.
b 0 = 1 , b 1 = − 2 1 , b 2 n − 1 = 0 for n > 1. 有理数数 b 2 n b_{2n} b 2 n n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 伯努利数 ；我们将看到 (VI, p. 288) b 2 n b_{2n} b 2 n ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 n n n
b 2 = 1 6 , b 4 = − 1 30 , b 6 = 1 42 , b 8 = − 1 30 , b 10 = 5 66 , b 12 = − 691 2730 , b 14 = 7 6 , b 16 = − 3617 510 , b 18 = 43867 798 , b 20 = − 174611 330 , b 22 = 854513 138 , b 24 = − 236364091 2730 , b 26 = 8553103 6 , b 28 = − 23749461029 870 .
\begin{align*}
b_2 &= \frac{1}{6}, & b_4 &= -\frac{1}{30}, & b_6 &= \frac{1}{42}, & b_8 &= -\frac{1}{30}, \\
b_{10} &= \frac{5}{66}, & b_{12} &= -\frac{691}{2730}, & b_{14} &= \frac{7}{6}, \\
b_{16} &= -\frac{3617}{510}, & b_{18} &= \frac{43867}{798}, & b_{20} &= -\frac{174611}{330}, & b_{22} &= \frac{854513}{138}, \\
b_{24} &= -\frac{236364091}{2730}, & b_{26} &= \frac{8553103}{6}, & b_{28} &= -\frac{23749461029}{870}.
\end{align*}
b 2 b 10 b 16 b 24 = 6 1 , = 66 5 , = − 510 3617 , = − 2730 236364091 , b 4 b 12 b 18 b 26 = − 30 1 , = − 2730 691 , = 798 43867 , = 6 8553103 , b 6 b 14 b 20 b 28 = 42 1 , = 6 7 , = − 330 174611 , = − 870 23749461029 . b 8 b 22 = − 30 1 , = 138 854513 , 注分子 691、3617、43867 是素数；其他的质因数分解是
174611 = 283 × 617 854513 = 11 × 131 × 593 236364091 = 103 × 2294797 8553103 = 13 × 657931 23749461029 = 7 × 9349 × 362903.
\begin{align*}
174611 &= 283 \times 617 \\
854513 &= 11 \times 131 \times 593 \\
236364091 &= 103 \times 2294797 \\
8553103 &= 13 \times 657931 \\
23749461029 &= 7 \times 9349 \times 362903.
\end{align*}
174611 854513 236364091 8553103 23749461029 = 283 × 617 = 11 × 131 × 593 = 103 × 2294797 = 13 × 657931 = 7 × 9349 × 362903. 由此我们推导出第一个伯努利多项式的表达式
B 0 ( X ) = 1 , B 1 ( X ) = X − 1 2 , B 2 ( X ) = X 2 − X + 1 6 , B 3 ( X ) = X 3 − 3 2 X 2 + 1 2 X , B 4 ( X ) = X 4 − 2 X 3 + X 2 − 1 30 .
\begin{align*}
B_0(X) &= 1, & B_1(X) &= X - \frac{1}{2}, & B_2(X) &= X^2 - X + \frac{1}{6}, \\
B_3(X) &= X^3 - \frac{3}{2}X^2 + \frac{1}{2}X, & B_4(X) &= X^4 - 2X^3 + X^2 - \frac{1}{30}.
\end{align*}
B 0 ( X ) B 3 ( X ) = 1 , = X 3 − 2 3 X 2 + 2 1 X , B 1 ( X ) B 4 ( X ) = X − 2 1 , = X 4 − 2 X 3 + X 2 − 30 1 . B 2 ( X ) = X 2 − X + 6 1 , 5. 实变量函数的合成运算符
令I为R \mathbf{R} R R + = [ 0 , + ∞ [ \mathbf{R}_+ = [0, +\infty[ R + = [ 0 , + ∞ [ C \mathbf{C} C a ⩾ 0 a \geqslant 0 a ⩾ 0 f ∈ E f \in E f ∈ E x ↦ f ( x + a ) x \mapsto f(x + a) x ↦ f ( x + a ) e λ x e^{\lambda x} e λ x λ \lambda λ U U U C \mathbf{C} C f ∈ E f \in E f ∈ E g = U ( f ) g = U(f) g = U ( f )
g ( x ) = U ξ ξ ( f ( ξ ) )
g(x) = U_{\xi}^{\xi}(f(\xi))
g ( x ) = U ξ ξ ( f ( ξ )) 其中 ξ \xi ξ cf. II, p. 58) 函数符号中的*虚拟*变量。对于每个a ⩾ 0 a \geqslant 0 a ⩾ 0 f ∈ E f \in E f ∈ E x ↦ f ( x + a ) x \mapsto f(x + a) x ↦ f ( x + a )
有人说，E 上的运算符 U 是合成运算符，如果对于每个a ⩾ 0 a \geqslant 0 a ⩾ 0
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
上面介绍的记号中，这个定义就成为恒等式
U x + a ξ ( f ( ξ ) ) = U x ξ ( f ( ξ + a ) )
U_{x+a}^{\xi}(f(\xi)) = U_x^{\xi}(f(\xi + a))
U x + a ξ ( f ( ξ )) = U x ξ ( f ( ξ + a )) 在 x x x a a a x ∈ I , a ⩾ 0 x \in I, a \geqslant 0 x ∈ I , a ⩾ 0 x x x a a a x ⩾ 0 x \geqslant 0 x ⩾ 0 a = 0 a = 0 a = 0 x ⩾ 0 x \geqslant 0 x ⩾ 0
U x ξ ( f ( ξ ) ) = U 0 ξ ( f ( ξ + x ) )
U_x^{\xi}(f(\xi)) = U_0^{\xi}(f(\xi + x))
U x ξ ( f ( ξ )) = U 0 ξ ( f ( ξ + x )) 其中U 0 U_0 U 0 f ∈ E f \in E f ∈ E g = U ( f ) g = U(f) g = U ( f ) g ( 0 ) g(0) g ( 0 )
如果f f f f ( ξ + x ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( ξ ) x k f(\xi + x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)}(\xi) x^k f ( ξ + x ) = ∑ k = 0 ∞ k ! 1 f ( k ) ( ξ ) x k U ( f ) U(f) U ( f ) x x x C \mathbf{C} C C [ X ] \mathbf{C}[X] C [ X ] U U U
我们再次为附加到运算符 U U U u n u_n u n
设 f 为函数，承认 I 上的连续 ( n + 1 ) t h (n + 1)^{th} ( n + 1 ) t h 1 ≤ m ≤ n 1 \leq m \leq n 1 ≤ m ≤ n f ( m ) f^{(m)} f ( m ) p ≤ n p \leq n p ≤ n x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 h ≥ 0 h \geq 0 h ≥ 0
引用了 2 引用了 II § 1. 。原语和积分 , § 1. 。广义泰勒展开
f ( p ) ( x + h ) = ∑ m = 0 n 1 m ! u m ( x ) U h ξ ( f ( m ) ( ξ ) ) + R n ( x , h )
f^{(p)}(x + h) = \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} u_m(x) U_h^\xi \left( f^{(m)}(\xi) \right) + R_n(x, h)
f ( p ) ( x + h ) = m = 0 ∑ n m ! 1 u m ( x ) U h ξ ( f ( m ) ( ξ ) ) + R n ( x , h ) (27)
与
R n ( x , h ) = − U h ξ ( ∫ 0 ξ − x − h 1 n ! u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η )
R_n(x, h) = -U_h^\xi \left( \int_0^{\xi - x - h} \frac{1}{n!} u_n(x + \eta) f^{(n+1)}(\xi - \eta) d\eta \right)
R n ( x , h ) = − U h ξ ( ∫ 0 ξ − x − h n ! 1 u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η ) (28)
（广义泰勒展开） 。
考虑为所有 ξ ∈ I \xi \in I ξ ∈ I ∫ 0 ξ − x − h 1 n ! u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η \int_0^{\xi - x - h} \frac{1}{n!} u_n(x + \eta) f^{(n+1)}(\xi - \eta) d\eta ∫ 0 ξ − x − h n ! 1 u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η n + 1 n + 1 n + 1
u n ( k ) = n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) u n − k
u_n^{(k)} = n(n-1)\ldots(n-k+1)u_{n-k}
u n ( k ) = n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) u n − k 由 (7) (VI, p. 273) 递归推导，可得
∫ 0 ξ − x − h 1 n ! u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η
\int_0^{\xi - x - h} \frac{1}{n!} u_n(x + \eta) f^{(n+1)}(\xi - \eta) d\eta
∫ 0 ξ − x − h n ! 1 u n ( x + η ) f ( n + 1 ) ( ξ − η ) d η = ∑ m = 0 n 1 m ! u m ( x ) f ( m ) ( ξ ) − ∑ m = 0 n 1 m ! u m ( ξ − h ) f ( m ) ( x + h ) .
= \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} u_m(x) f^{(m)}(\xi) - \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} u_m(\xi - h) f^{(m)}(x + h).
= m = 0 ∑ n m ! 1 u m ( x ) f ( m ) ( ξ ) − m = 0 ∑ n m ! 1 u m ( ξ − h ) f ( m ) ( x + h ) . (29)
我们将运算符U U U ξ \xi ξ ξ \xi ξ h h h
U h ξ ( u m ( ξ − h ) ) = U 0 ξ ( u m ( ξ ) ) = { 0 for m ≠ p p ! for m = p
U_h^\xi (u_m(\xi - h)) = U_0^\xi (u_m(\xi)) = \begin{cases} 0 & \text{for } m \neq p \\ p! & \text{for } m = p \end{cases}
U h ξ ( u m ( ξ − h )) = U 0 ξ ( u m ( ξ )) = { 0 p ! for m = p for m = p 最终得到(27)。
6. 合成运算符的指标
与 n° 5 中的假设相同，将 (VI, p. 277) 的公式 (26) 应用于函数 e λ x e^{\lambda x} e λ x
U λ ξ ( e λ ξ ) = U 0 ξ ( e λ x e λ ξ ) = e λ x U 0 ξ ( e λ ξ ) = u ( λ ) e λ x
U_\lambda^\xi (e^{\lambda \xi}) = U_0^\xi (e^{\lambda x} e^{\lambda \xi}) = e^{\lambda x} U_0^\xi (e^{\lambda \xi}) = u(\lambda) e^{\lambda x}
U λ ξ ( e λ ξ ) = U 0 ξ ( e λ x e λ ξ ) = e λ x U 0 ξ ( e λ ξ ) = u ( λ ) e λ x u ( λ ) = U 0 ξ ( e λ ξ ) u(\lambda) = U_0^\xi (e^{\lambda \xi}) u ( λ ) = U 0 ξ ( e λ ξ ) C \mathbf{C} C u ( λ ) u(\lambda) u ( λ ) U U U U U U C [ X ] \mathbf{C}[X] C [ X ] D p ∑ n = 0 ∞ α n D n
D^p \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n D^n
D p n = 0 ∑ ∞ α n D n u ( D ) u(D) u ( D ) α n λ n + p \alpha_n \lambda^{n+p} α n λ n + p 不一定收敛 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ = 0 λ \lambda λ u ( λ ) u(\lambda) u ( λ ) U U U C \mathbf{C} C α n λ n + p \alpha_n \lambda^{n+p} α n λ n + p u ( λ ) u(\lambda) u ( λ ) 1 ^1 1 e λ x e^{\lambda x} e λ x h = 0 h = 0 h = 0 D m ( e λ x ) = λ m e λ x D^m(e^{\lambda x}) = \lambda^m e^{\lambda x} D m ( e λ x ) = λ m e λ x U 0 ξ ( D m ( e λ x ) ) = λ m u ( λ ) U_0^\xi \left( D^m(e^{\lambda x}) \right) = \lambda^m u(\lambda) U 0 ξ ( D m ( e λ x ) ) = λ m u ( λ ) λ \lambda λ u ( λ ) ≠ 0 u(\lambda) \neq 0 u ( λ ) = 0 λ p e λ x u ( λ ) = ∑ m = 0 n u m ( x ) λ m m ! − λ n + 1 u ( λ ) U 0 ξ ( ∫ 0 ξ − x 1 n ! u n ( x + η ) e λ ( ξ − η ) d η )
\frac{\lambda^p e^{\lambda x}}{u(\lambda)} = \sum_{m=0}^n u_m(x) \frac{\lambda^m}{m!} - \frac{\lambda^{n+1}}{u(\lambda)} U_0^\xi \left( \int_0^{\xi-x} \frac{1}{n!} u_n(x+\eta) e^{\lambda(\xi-\eta)} d\eta \right)
u ( λ ) λ p e λ x = m = 0 ∑ n u m ( x ) m ! λ m − u ( λ ) λ n + 1 U 0 ξ ( ∫ 0 ξ − x n ! 1 u n ( x + η ) e λ ( ξ − η ) d η ) 特别是对于 x = 0 x = 0 x = 0
λ p u ( λ ) = ∑ m = 0 n β m λ m m ! − λ n + 1 u ( λ ) U 0 ξ ( ∫ 0 ξ 1 n ! u n ( η ) e λ ( ξ − η ) d η )
\frac{\lambda^p}{u(\lambda)} = \sum_{m=0}^n \beta_m \frac{\lambda^m}{m!} - \frac{\lambda^{n+1}}{u(\lambda)} U_0^\xi \left( \int_0^{\xi} \frac{1}{n!} u_n(\eta) e^{\lambda(\xi-\eta)} d\eta \right)
u ( λ ) λ p = m = 0 ∑ n β m m ! λ m − u ( λ ) λ n + 1 U 0 ξ ( ∫ 0 ξ n ! 1 u n ( η ) e λ ( ξ − η ) d η ) 与β m = u m ( 0 ) \beta_m = u_m(0) β m = u m ( 0 )
如果U U U λ ∈ C \lambda \in \mathbf{C} λ ∈ C u ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ α n λ n + p u(\lambda) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \lambda^{n+p} u ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ α n λ n + p ∑ n = 0 ∞ β n λ n n ! \sum_{n=0}^\infty \beta_n \frac{\lambda^n}{n!} ∑ n = 0 ∞ β n n ! λ n 2 ^2 2
λ p u ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ β n λ n n ! .
\frac{\lambda^p}{u(\lambda)} = \sum_{n=0}^\infty \beta_n \frac{\lambda^n}{n!}.
u ( λ ) λ p = n = 0 ∑ ∞ β n n ! λ n . 类似地，由于e λ x e^{\lambda x} e λ x λ ∈ C \lambda \in \mathbf{C} λ ∈ C x ∈ C x \in \mathbf{C} x ∈ C x ∈ C x \in \mathbf{C} x ∈ C
λ n e λ x u ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ u n ( x ) λ n n ! .
\frac{\lambda^n e^{\lambda x}}{u(\lambda)} = \sum_{n=0}^\infty u_n(x) \frac{\lambda^n}{n!}.
u ( λ ) λ n e λ x = n = 0 ∑ ∞ u n ( x ) n ! λ n .
如果U U U u ( λ ) = 1 u(\lambda) = 1 u ( λ ) = 1 U U U u n ( x ) = x n u_n(x) = x^n u n ( x ) = x n ξ = ξ − η \xi = \xi - \eta ξ = ξ − η
f ( x + h ) = ∑ n = 0 ∞ 1 m ! f ( m ) ( h ) x m + ∫ h x + h f ( n + 1 ) ( t ) ( x + h − t ) n n ! d t
f(x + h) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{m!} f^{(m)}(h) x^m + \int_h^{x+h} f^{(n+1)}(t) \frac{(x + h - t)^n}{n!} dt
f ( x + h ) = n = 0 ∑ ∞ m ! 1 f ( m ) ( h ) x m + ∫ h x + h f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x + h − t ) n d t 也就是说，它约化到泰勒公式（II，p. 62）。
引用了 1 引用了 § 1. 。广义泰勒展开
让我们采用 U U U R + \mathbf{R}_+ R + f f f x ↦ f ( x + 1 ) − f ( x ) x \mapsto f(x + 1) - f(x) x ↦ f ( x + 1 ) − f ( x )
U λ ξ ( f ( ξ ) ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) ;
U_{\lambda}^{\xi} (f(\xi)) = f(x + 1) - f(x);
U λ ξ ( f ( ξ )) = f ( x + 1 ) − f ( x ) ; 我们已经看到（VI，p. 275）U U U C [ X ] \mathbf{C}[X] C [ X ] e D − 1 e^D - 1 e D − 1 u ( λ ) = e λ − 1 u(\lambda) = e^{\lambda} - 1 u ( λ ) = e λ − 1 U U U λ e λ − 1 \frac{\lambda}{e^{\lambda} - 1} e λ − 1 λ b n b_n b n f f f R + \mathbf{R}_+ R + n t h n^{th} n t h
f ( x + h ) = ∫ h h + 1 f ( t ) d t
f(x + h) = \int_h^{h+1} f(t) dt
f ( x + h ) = ∫ h h + 1 f ( t ) d t + ∑ m = 1 n 1 m ! B m ( x ) ( f ( m − 1 ) ( h + 1 ) − f ( m − 1 ) ( h ) ) + R n ( x , h )
+ \sum_{m=1}^n \frac{1}{m!} B_m(x) \left( f^{(m-1)}(h+1) - f^{(m-1)}(h) \right) + R_n(x, h)
+ m = 1 ∑ n m ! 1 B m ( x ) ( f ( m − 1 ) ( h + 1 ) − f ( m − 1 ) ( h ) ) + R n ( x , h ) 与
这个引理是一般结果的特例，我们稍后会证明；这是证明。如果整个级数∑ n = 0 ∞ c n λ n \sum_{n=0}^{\infty} c_n \lambda^n ∑ n = 0 ∞ c n λ n λ = λ 0 \lambda = \lambda_0 λ = λ 0 k ⩾ 0 k \geqslant 0 k ⩾ 0 ∑ n = 0 ∞ c n + k λ n \sum_{n=0}^{\infty} c_{n+k} \lambda^n ∑ n = 0 ∞ c n + k λ n ∣ λ ∣ ⩽ ∣ λ 0 ∣ |\lambda| \leqslant |\lambda_0| ∣ λ ∣ ⩽ ∣ λ 0 ∣ 0 0 0 ∑ n = k + 1 ∞ c n λ n = o ( λ k ) \sum_{n=k+1}^{\infty} c_n \lambda^n = o(\lambda^k) ∑ n = k + 1 ∞ c n λ n = o ( λ k ) λ n \lambda^n λ n
R n ( x , h ) = − ∫ 0 1 − x B n ( x + η ) n ! f ( n ) ( h + 1 − η ) d η + ∫ 0 − x B n ( x + η ) n ! f ( n ) ( h − η ) d η .
R_n(x, h) = - \int_0^{1-x} \frac{B_n(x + \eta)}{n!} f^{(n)}(h + 1 - \eta) d\eta \\
+ \int_0^{-x} \frac{B_n(x + \eta)}{n!} f^{(n)}(h - \eta) d\eta.
R n ( x , h ) = − ∫ 0 1 − x n ! B n ( x + η ) f ( n ) ( h + 1 − η ) d η + ∫ 0 − x n ! B n ( x + η ) f ( n ) ( h − η ) d η . (36)
引用了 2 引用了 § 1. 。广义泰勒展开 , V § 2. 。渐近展开
令 E 为函数 f f f R \mathbf{R} R ∫ − ∞ + ∞ f ( x + ξ ) e − ξ 2 / 2 d ξ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x + \xi) e^{-\xi^2/2} d\xi ∫ − ∞ + ∞ f ( x + ξ ) e − ξ 2 /2 d ξ x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0
U λ ξ ( f ( ξ ) ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 / 2 f ( x + ξ ) d ξ
U_\lambda^\xi \left( f(\xi) \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} f(x + \xi) d\xi
U λ ξ ( f ( ξ ) ) = 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 /2 f ( x + ξ ) d ξ 然后定义在 E 上并且显然是合成运算符。 空间 E 包含所有指数e λ x e^{\lambda x} e λ x λ \lambda λ
u ( λ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( ξ 2 / 2 ) + λ ξ d ξ = 1 2 π e λ 2 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − ( ξ − λ ) 2 / 2 d ξ = e λ 2 / 2
u(\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi^2/2) + \lambda \xi} d\xi \\
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\lambda^2/2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi - \lambda)^2/2} d\xi = e^{\lambda^2/2}
u ( λ ) = 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ e − ( ξ 2 /2 ) + λ ξ d ξ = 2 π 1 e λ 2 /2 ∫ − ∞ + ∞ e − ( ξ − λ ) 2 /2 d ξ = e λ 2 /2 （cf.III、p. 120、练习 24 和 VII、p. 313、公式 (22)）。一个有n ! α n = U 0 ξ ( ξ n ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 / 2 ξ n d ξ n! \alpha_n = U_0^\xi (\xi^n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} \xi^n d\xi n ! α n = U 0 ξ ( ξ n ) = 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 /2 ξ n d ξ n n n
∑ k = 0 n ∫ − ∞ + ∞ ∣ λ ξ ∣ k k ! e − ξ 2 / 2 d ξ ≤ 2 ∫ 0 + ∞ e − ( ξ 2 / 2 ) + ∣ λ ∣ ξ d ξ .
\sum_{k=0}^n \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|\lambda \xi|^k}{k!} e^{-\xi^2/2} d\xi \leq 2 \int_0^{+\infty} e^{-(\xi^2/2) + |\lambda| \xi} d\xi.
k = 0 ∑ n ∫ − ∞ + ∞ k ! ∣ λ ξ ∣ k e − ξ 2 /2 d ξ ≤ 2 ∫ 0 + ∞ e − ( ξ 2 /2 ) + ∣ λ ∣ ξ d ξ . 因而，级数∑ n = 0 ∞ e − ξ 2 / 2 ( λ ξ ) n n ! \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\xi^2/2} \frac{(\lambda \xi)^n}{n!} ∑ n = 0 ∞ e − ξ 2 /2 n ! ( λ ξ ) n R \mathbf{R} R ∑ n = 0 ∞ α n λ n \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \lambda^n ∑ n = 0 ∞ α n λ n λ ∈ C \lambda \in \mathbf{C} λ ∈ C u ( λ ) = e λ 2 / 2 = ∑ n = 0 ∞ λ 2 n 2 n n ! u(\lambda) = e^{\lambda^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2n}}{2^n n!} u ( λ ) = e λ 2 /2 = ∑ n = 0 ∞ 2 n n ! λ 2 n U U U n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 α 2 n = 1 / 2 n n ! , α 2 n + 1 = 0 \alpha_{2n} = 1/2^n n!,\ \alpha_{2n+1} = 0 α 2 n = 1/ 2 n n ! , α 2 n + 1 = 0 U U U
1 u ( λ ) = e − λ 2 / 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n λ 2 n 2 n n ! ,
\frac{1}{u(\lambda)} = e^{-\lambda^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \lambda^{2n}}{2^n n!},
u ( λ ) 1 = e − λ 2 /2 = n = 0 ∑ ∞ 2 n n ! ( − 1 ) n λ 2 n , 级数对于每个λ ∈ C \lambda \in \mathbf{C} λ ∈ C β 2 n = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 n n ! , β 2 n + 1 = 0 \beta_{2n} = \frac{(-1)^n (2n)!}{2^n n!},\ \beta_{2n+1} = 0 β 2 n = 2 n n ! ( − 1 ) n ( 2 n )! , β 2 n + 1 = 0 ∑ n = 0 ∞ λ n n ! u n ( x ) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} u_n(x) ∑ n = 0 ∞ n ! λ n u n ( x ) λ ∈ C \lambda \in \mathbf{C} λ ∈ C x ∈ R x \in \mathbf{R} x ∈ R
∑ n = 0 ∞ λ n n ! u n ( x ) = exp ( − λ 2 2 + λ x ) = exp ( x 2 2 ) exp ( − 1 2 ( λ − x ) 2 ) .
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} u_n(x) = \exp \left( -\frac{\lambda^2}{2} + \lambda x \right) = \exp \left( \frac{x^2}{2} \right) \exp \left( -\frac{1}{2} (\lambda - x)^2 \right).
n = 0 ∑ ∞ n ! λ n u n ( x ) = exp ( − 2 λ 2 + λ x ) = exp ( 2 x 2 ) exp ( − 2 1 ( λ − x ) 2 ) . 在应用上，泰勒公式到函数exp ( − x 2 / 2 ) \exp(-x^2/2) exp ( − x 2 /2 ) u n ( x ) u_n(x) u n ( x )
u n ( x ) = ( − 1 ) n e λ 2 / 2 d n d x n ( e − x 2 / 2 ) .
u_n(x) = (-1)^n e^{\lambda^2/2} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^2/2}).
u n ( x ) = ( − 1 ) n e λ 2 /2 d x n d n ( e − x 2 /2 ) . 该多项式称为次数 n n n H n ( x ) \mathrm{H}_n(x) H n ( x )
d H n d x = n H n − 1 ( x )
\frac{d \mathrm{H}_n}{dx} = n \mathrm{H}_{n-1}(x)
d x d H n = n H n − 1 ( x ) H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H n − k ( x ) y k
\mathrm{H}_n(x+y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathrm{H}_{n-k}(x) y^k
H n ( x + y ) = k = 0 ∑ n ( k n ) H n − k ( x ) y k 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 / 2 H n ( x + ξ ) d ξ = x n
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} \mathrm{H}_n(x+\xi) d\xi = x^n
2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ e − ξ 2 /2 H n ( x + ξ ) d ξ = x n 并且VI、p. 278的公式 (27) 变为，对于h = 0 h = 0 h = 0
2 π f ( x ) = ∑ m = 0 n ( ∫ − ∞ + ∞ e ξ 2 / 2 f ( m ) ( ξ ) d ξ ) H m ( x ) m !
\sqrt{2\pi} f(x) = \sum_{m=0}^n \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\xi^2/2} f^{(m)}(\xi) d\xi \right) \frac{\mathrm{H}_m(x)}{m!}
2 π f ( x ) = m = 0 ∑ n ( ∫ − ∞ + ∞ e ξ 2 /2 f ( m ) ( ξ ) d ξ ) m ! H m ( x ) − ∫ − ∞ + ∞ d ξ ∫ 0 ξ H n ( x + η ) n ! e − ( ξ + η ) 2 / 2 f ( n + 1 ) ( x + ξ − η ) d η .
- \int_{-\infty}^{+\infty} d\xi \int_0^\xi \frac{\mathrm{H}_n(x+\eta)}{n!} e^{-(\xi+\eta)^2/2} f^{(n+1)}(x+\xi-\eta) d\eta.
− ∫ − ∞ + ∞ d ξ ∫ 0 ξ n ! H n ( x + η ) e − ( ξ + η ) 2 /2 f ( n + 1 ) ( x + ξ − η ) d η . 引用了 4 引用了 III § 1. 。指数和循环的导数函数 , VII § 1. 。真实领域中的 GAMMA 函数 , II § 3. 。 函数的导数和积分取决于参数 , § 1. 。广义泰勒展开
7. 欧拉-麦克劳林求和公式
在VI、p. 280的公式(35)中，让我们将替换x x x h h h x x x B m ( 0 ) = b m \mathrm{B}_m(0) = b_m B m ( 0 ) = b m p > 0 p > 0 p > 0
f ( x ) = ∫ x x + 1 f ( t ) d t − 1 2 ( f ( x + 1 ) − f ( x ) )
f(x) = \int_x^{x+1} f(t) dt - \frac{1}{2} (f(x+1) - f(x))
f ( x ) = ∫ x x + 1 f ( t ) d t − 2 1 ( f ( x + 1 ) − f ( x )) + ∑ k = 1 p b 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( x + 1 ) − f ( 2 k − 1 ) ( x ) ) + R p ( x )
+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(x+1) - f^{(2k-1)}(x) \right) + R_p(x)
+ k = 1 ∑ p ( 2 k )! b 2 k ( f ( 2 k − 1 ) ( x + 1 ) − f ( 2 k − 1 ) ( x ) ) + R p ( x ) R p ( x ) = − 1 ( 2 p + 1 ) ! ∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) f ( 2 p + 1 ) ( x + 1 − t ) d t .
R_p(x) = - \frac{1}{(2p+1)!} \int_0^1 \mathrm{B}_{2p+1}(t) f^{(2p+1)}(x+1-t) dt.
R p ( x ) = − ( 2 p + 1 )! 1 ∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) f ( 2 p + 1 ) ( x + 1 − t ) d t . x x x x + 1 , x + 2 , … , x + n x+1, x+2, \ldots, x+n x + 1 , x + 2 , … , x + n
{ f ( x ) + f ( x + 1 ) + ⋯ + f ( x + n ) = ∫ x x + n + 1 f ( t ) d t − 1 2 ( f ( x + n + 1 ) − f ( x ) ) + ∑ k = 1 p b 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( x + n + 1 ) − f ( 2 k − 1 ) ( x ) ) + T p ( x , n )
\begin{cases}
f(x) + f(x+1) + \cdots + f(x+n) \\
= \int_x^{x+n+1} f(t) dt - \frac{1}{2} (f(x+n+1) - f(x)) \\
+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(x+n+1) - f^{(2k-1)}(x) \right) + T_p(x, n)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ f ( x ) + f ( x + 1 ) + ⋯ + f ( x + n ) = ∫ x x + n + 1 f ( t ) d t − 2 1 ( f ( x + n + 1 ) − f ( x )) + ∑ k = 1 p ( 2 k )! b 2 k ( f ( 2 k − 1 ) ( x + n + 1 ) − f ( 2 k − 1 ) ( x ) ) + T p ( x , n ) T p ( x , n ) = − 1 ( 2 p + 1 ) ! ∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) ( ∑ k = 0 n f ( 2 p + 1 ) ( x + k + 1 − t ) ) d t .
T_p(x, n) = - \frac{1}{(2p+1)!} \int_0^1 \mathrm{B}_{2p+1}(t) \left( \sum_{k=0}^n f^{(2p+1)}(x+k+1-t) \right) dt.
T p ( x , n ) = − ( 2 p + 1 )! 1 ∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) ( k = 0 ∑ n f ( 2 p + 1 ) ( x + k + 1 − t ) ) d t . 这个公式中的余数T p ( x , n ) T_p(x, n) T p ( x , n ) B ‾ 2 p + 1 ( t ) \overline{B}_{2p+1}(t) B 2 p + 1 ( t ) [ 0 , 1 [ [0, 1[ [ 0 , 1 [ B 2 p + 1 ( t ) B_{2p+1}(t) B 2 p + 1 ( t )
∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) f ( 2 p + 1 ) ( x + k + 1 − t ) d t = ∫ k k + 1 B ‾ 2 p + 1 ( 1 − s ) f ( 2 p + 1 ) ( x + s ) d s
\int_0^1 B_{2p+1}(t) f^{(2p+1)}(x + k + 1 - t) \, dt = \int_k^{k+1} \overline{B}_{2p+1}(1 - s) f^{(2p+1)}(x + s) \, ds
∫ 0 1 B 2 p + 1 ( t ) f ( 2 p + 1 ) ( x + k + 1 − t ) d t = ∫ k k + 1 B 2 p + 1 ( 1 − s ) f ( 2 p + 1 ) ( x + s ) d s 因而
T p ( x , n ) = − 1 ( 2 p + 1 ) ! ∫ 0 n + 1 B ‾ 2 p + 1 ( 1 − s ) f ( 2 p + 1 ) ( x + s ) d s .
T_p(x, n) = - \frac{1}{(2p+1)!} \int_0^{n+1} \overline{B}_{2p+1}(1 - s) f^{(2p+1)}(x + s) ds.
T p ( x , n ) = − ( 2 p + 1 )! 1 ∫ 0 n + 1 B 2 p + 1 ( 1 − s ) f ( 2 p + 1 ) ( x + s ) d s . 公式 (39) 称为*欧拉-麦克劳林求和公式*；它适用于每个复数函数，对于每个x ≥ x 0 x \geq x_0 x ≥ x 0 [ x 0 , + ∞ [ [x_0, +\infty[ [ x 0 , + ∞ [ ( 2 p + 1 ) t h (2p + 1)^{th} ( 2 p + 1 ) t h T p ( x , n ) T_p(x, n) T p ( x , n )
习题
参见习题为 § 1 。