习题 3, § 1

令 K 为特征 0 的域。可以说，两个不定式 X 中多项式的代数 K[X,Y] 的自同态 U，K 上的 Y 是合成运算符，如果对于每个多项式 $f \in K[X, Y]$，有人有，将$g = U(f)$， $g(X+S, Y+T) = U_{X,Y}(f(X+S, Y+T))$，其中 S 和 T 是另外两个不定式。

a) 概括命题。 1 和 th。 1 这些操作员。由此导出公式 $e^{S+T} = e^S e^T$ 的新证明。

对于形式 $D_X^p D_Y^q u(D_X, D_Y)$ 的合成运算符，其中形式级数 $u$ 的常量项不是零，定义 Appell 多项式 $u_{mn}$ 并推广 props。 VI、p. 273 和 274 的 4、5 d 6。

特别考虑由$U(f(X, Y)) = f(X + Y + 1) - f(X, Y + 1) - f(X + 1, Y) + f(X, Y)$定义的合成运算符$U$； Appell 多项式相应的该算子称为伯努利多项式，用 $B_{m,n}$ 表示。证明$u_{m,n}(X, Y) = B_m(X)B_n(Y)$。