§ 3. 。欧拉-麦克劳林求和公式中余数的界限

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§ 3。欧拉-麦克劳林求和公式中余数的界限

1. 欧拉-麦克劳林求和公式中余数的界限

(16) 中获得的伯努利多项式在区间 $[0, 1]$ 上的估计允许人们轻松估计欧拉-麦克劳林求和公式 (VI, p. 282, 公式 (39)) 中的余数 $T_p(x, n)$ ：

\left\{ \begin{array}{l} f(x) + f(x+1) + \cdots + f(x+n) \\ \phantom{=} = \int_x^{x+n+1} f(t)\,dt - \frac{1}{2} (f(x+n+1) - f(x)) \\ \phantom{=} \phantom{=} + \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k-1)}(x+n+1) - f^{(2k-1)}(x)) + T_p(x, n). \end{array} \right.

事实上，有 (VI, p. 283, 公式 (41))

T_p(x, n) = -\frac{1}{(2p+1)!} \int_0^{n+1} \overline{B}_{2p+1}(1-s) f^{(2p+1)}(x+s)\,ds

其中 $\overline{B}_{2p+1}(t)$ 是周期 1 的周期函数，等于间隔 $[0, 1[$ 上的 $B_{2p+1}(t)$ 。 VI、p. 288 的公式 (16) 表明

|\overline{B}_{2p+1}(t)| \leq 4e^{2\pi} \frac{(2p+1)!}{(2\pi)^{2p+1}}

(3)

对于所有 $t \in \mathbf{R}$ 和应用，平均值公式给出估计值

|T_p(x, n)| \leq \frac{4e^{2\pi}}{(2\pi)^{2p+1}} \int_x^{x+n+1} |f^{(2p+1)}(t)| \, dt

(4)

对于 $T_p(x, n)$ 。

2. 渐近展开的应用

欧拉-麦克劳林公式允许人们给出更完整的解（在最重要的情况下）到V，p. 238到242中处理的问题，即获得部分和 $s_n = \sum_{m=0}^n g(m)$ （分别是余数）的渐近展开 $r_n = \sum_{m=n+1}^\infty g(m)$ )，其中 $g$ 是标量函数、 $> 0$ ，单调，在 $[0, +\infty[$ 上定义。

我们将仅限于 $g$ 是阶0相对于 $e^x$ 的(H)函数(V,p. 252)；在其他字中，有一个有关系 $g' \ll g$ ；由此关系可以为每个整数 $k > 0$ 推出 $g^{(k+1)} \ll g^{(k)}$ ，使得阶 $h \leq k$ 的导数 $g^{(h)}$ 都不等于常数（V、p. 232，命题 7）。令 $p$ 为整数，使得阶 $h \leq 2p$ 的导数 $g^{(h)}$ 都不等于常数。首先我们假设级数与一般的项 $g(n)$ 有无穷大的和，并区分几种情况：

1. $|g^{(2p-1)}(n)|$ 与 $n$ 趋于 $+\infty$ ；我们有相同的，到假设，对于 $|g^{(2k-1)}(n)|$ 对于 $1 \leq k \leq p$ ；进一步，由于 $g^{(2p+1)}$ 在 $+\infty$ 的邻域上单调，VI、p. 289的公式 (4)，给出 $T_p(0, n) = O(g^{(2p)}(n+1)) = o(g^{(2p-1)}(n+1))$ ；欧拉-麦克劳林公式，应用于 $x = 0$ ，表明

s_n = \sum_{m=0}^n g(m) = \int_0^{n+1} g(t) \, dt - \frac{1}{2} g(n+1)

+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} g^{(2k-1)}(n+1) + o(g^{(2p-1)}(n+1))

该和中的每一个项相对于前一个都可以忽略不计；将它们中的每一个相对于比较尺度 $\mathscr{E}$ 进行扩展，就会得到 $s_n$ 的渐近展开。

2) 现在假设对于指标 $q$ ，使得 $1 \leq q \leq p$ 我们有 $|g^{(2q-1)}(n)|$ 趋向于 $+\infty$ 和 $n$ ，但对于 $k > q$ $g^{(2k-1)}(n)$ 趋于0。由于 $g^{(2p+1)}$ 在 $+\infty$ 的邻域上是单调的，因此积分 $\int_0^\infty |g^{(2p+1)}(u)| \, du$ 收敛，然后可以写出

s_n = \sum_{m=0}^{n} g(m) = \int_0^{n+1} g(t)\,dt - \frac{1}{2}g(n+1) + \sum_{k=1}^{q} \frac{b_{2k}}{(2k)!}\,g^{(2k-1)}(n+1) + C

+ \sum_{k=q+1}^{p} \frac{b_{2k}}{(2k)!}\,g^{(2k-1)}(n+1) + o\left(g^{(2p-1)}(n+1)\right)

其中 C 是一个常数：确实

\int_{n+1}^{\infty} |g^{(2p+1)}(u)|\,du = O\left(g^{(2p)}(n+1)\right) = o\left(g^{(2p-1)}(n+1)\right).

同样，当 $g(n)$ 自身趋于0时，公式有效。最后，当级数与一般项 $g(n)$ 收敛时，对于余数 $r_n = \sum_{m=n+1}^{\infty} g(m)$ ，展开

r_n = \sum_{m=n+1}^{\infty} g(m) = \int_{n+1}^{\infty} g(t)\,dt + \frac{1}{2}\,g(n+1)

- \sum_{k=1}^{p} \frac{b_{2k}}{(2k)!}\,g^{(2k-1)}(n+1) + o\left(g^{(2p-1)}(n+1)\right).

习题

参见习题为 § 3。