习题 1, § 3

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实变函数, VI, 296

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证明如果 $f^{(2p+1)}(t)$ 在区间 $[x, x+n+1]$ 上是单调的，则欧拉-麦克劳林公式 VI、p. 288 (公式 (2)) 中的余数 $\mathrm{T}_p(x, n)$ 与项具有相同的符号

\frac{1}{(2p+2)!}\, b_{2p+2}\, \left( f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right)

并且绝对值至多等于这个项。

如果假设 $f^{(2p+2)}$ 是连续的（但具有任何符号），则表明有

\left| \mathrm{T}_p(x, n) \right| \leqslant \frac{1}{(2p+2)!} \left| b_{2p+2} \right| \left( \left| f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right| + \int_x^{x+n+1} \left| f^{(2p+2)}(t) \right| dt \right).

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

无。