习题 2, § 1

令 g 为 ]0, +∞[ 上的连续递增函数。

a) 证明如果$\liminf_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$，方程$u(x + 1) - u(x) = g(x)$至多存在一个凸解，在给定的点处取给定的值（注，对于所有$h > 0$函数$v(x) = u(x + h) - u(x)$是递增） 函数满足方程$v(x + 1) - v(x) = g(x + h) - g(x)$，并应用 1 a))。

b) 证明如果$g$在]0、$+\infty[$上是凹的，则方程$u(x + 1) - u(x) = g(x)$存在凸解；当且仅当 $\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$ (cf. 执行 1 b)) 时，该方程存在唯一凸解，在给定点处取给定值。

c) 从这里开始假设$g$是递增并且在]0、$+\infty[$和$\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$上凹。对于数 $h > 0, k > 0$ 的每个对以及定义在 ]0 上的每个有限实数函数 $f$，$+\infty[$ 一个放

$x > k$。证明如果 $u$ 是方程 $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ 的凸解，则对于所有 $h > 0$ 和 $k > 0$ 都有 $\lim_{x \to +\infty} \Delta(u(x); h, k) = 0$（使用 VII、p. 325 的练习 1 b）中的 $u'_r$ 表达式）。

d) 用 c) 的记号证明存在一个常数 $\alpha$ 使得一个人有 $u(x) = v(x) + \alpha$，其中

我们放置的地方 此外，还有一个 （注$v(x + 1) - v(x) = g(x)$和$\lim_{x \to +\infty} \Delta(v(x); h, k) = 0$，无论$h > 0$和$k > 0$。）