习题 3, § 1

a) 令$g$定义为函数，并允许在]0、$+\infty[$上连续的$k^{th}$导数，使得$g^{(k)}$在此区间上为递减且为$\lim_{x \to +\infty} g^{(k)}(x) = 0$。证明方程 $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ 存在且仅有一个解 $u$，它承认递增 $k^{th}$ 右 ]0、$+\infty[$ 的导数，并在给定点处取给定的值（使用练习 1 b））。

b) 令$\alpha$为任意实数。设 $S_\alpha$ 为函数，定义在 ]0、$+\infty[$ 满足关系

这样$S_\alpha(1) = 0$，并且进一步，阶的$S_\alpha$等于$(\alpha + 1)^+$的整数部分的导数是递增（它是$a$唯一的函数））。表明 和 对于每个整数 $p \geq 1$，其中 $C_\alpha$ 是一个常数，当 $\alpha \neq -1$ 时，等于 （cf. VII、p.318，道具 2 和 VI、p. 291，练习 3）。