Bourbaki

习题 6, § 1

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实变函数, VII, 327

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 ψ(x)=Γ′(x)/Γ(x)\psi(x) = \Gamma'(x)/\Gamma(x)；对于每个整数q>1q > 1和每个整数kk，使得1≤k≤q−11 \leq k \leq q-1建立公式

∑p=1qψ(pq)exp⁡(2pkπiq)=−q∑n=1∞1nexp⁡(2nkπiq)=qlog⁡(1−exp⁡2kπiq). \sum_{p=1}^{q} \psi\left(\frac{p}{q}\right) \exp\left(\frac{2pk\pi i}{q}\right) = -q \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp\left(\frac{2nk\pi i}{q}\right) = q \log\left(1 - \exp\frac{2k\pi i}{q}\right).
（使用VII、p. 307中的公式(9)。）

解答

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