Bourbaki

习题 1, § 2

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实变函数, VII, 327

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 令gg为x≥0x \geq 0的连续实数函数。证明如果 gg 满足两个恒等式

∑k=0p−1g(x+kp)=g(x) \sum_{k=0}^{p-1} g\left(\frac{x+k}{p}\right) = g(x)
∑h=0q−1g(x+hq)=g(x) \sum_{h=0}^{q-1} g\left(\frac{x+h}{q}\right) = g(x)
也满足身份
∑j=0pq−1g(x+jpq)=g(x). \sum_{j=0}^{pq-1} g\left(\frac{x+j}{pq}\right) = g(x).

b) 由此推论，如果函数gg右x≥0x \geq 0有连续导数且满足恒等式

∑k=0p−1g(x+kp)=g(x) \sum_{k=0}^{p-1} g\left(\frac{x+k}{p}\right) = g(x)
那么它是形式a(x−12)a(x-\frac{1}{2})，其中aa是一个常数（注使得gg满足类似恒等式，其中pp被pnp^n替代；让nn趋于+∞+\infty并推导出g′(x)=∫01g′(t) dtg'(x) = \int_0^1 g'(t)\,dt）。

c) Conclude from b) that the Γ\Gamma function is the only function having a continuous derivative for x>0x > 0, which satisfies equation (1) of VII, p. 305, and the multiplication formula (12) of VII, p. 318, for a value of pp.

解答

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