习题 10, § 1

a) 令 E 为完全格序空间； E 上存在拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$，它是 E 上拓扑 $\mathscr{T}$ 中最好的拓扑，其中 E 上的每个有界滤波器 $\mathscr{F}$ 在阶结构（示例 9）的意义上收敛，对于 $\mathscr{T}$ 收敛到相同的极限。

令 E 和 F 为 E 到 F 的两个完全格序空间、$f$ 映射，这样，对于 E 上收敛于阶结构的每个有界滤波器 $\mathfrak{F}$，$f(\mathfrak{F})$ 是 F 上收敛于的有界滤波器基 $f(\lim \mathfrak{F})$ 阶结构。证明，在这些条件下，$f$ 对于拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$ 和 $\mathscr{T}_0(F)$ 是连续的。

b) 从a)推导出拓扑$\mathscr{T}_0(E)$与E的向量空间结构兼容，并且映射$x \mapsto |x|$对于这个拓扑是连续的。证明$\mathscr{T}_0(E)$与E的有序向量空间结构兼容，并由此推导出这个拓扑是Hausdorff。

c) 给定任何无限集合 A，令 $E = \mathscr{B}(A)$ 为 A 上有界实值函数的完全格序空间。令 $\Phi$ 为 A 上定义的数值函数 $\varphi$（有限或非有限）的集合，使得$\varphi(t) > 0$对于所有$t \in A$，并且对于每个整数$n > 0$，$t \in A$的集合使得$\varphi(t) \leq n$是有限的。对于每个函数$\varphi \in \Phi$，令$V_\varphi$为$x \in E$的集合，使得$|x| \leq \varphi$；表明集合 $V_\varphi$ 形式拓扑 $\mathscr{T}_1(E)$ 的 0 邻域的基本系统与 E 的有序向量空间结构兼容，且 E 是 Hausdorff 且完备。证明拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$ 比 $\mathscr{T}_1(E)$ 更细，但严格比 A 中一致收敛的拓扑粗糙（由范数 $\|x\| = \sup_{t \in A} |x(t)|$ 定义）（考虑 $\mathscr{B}(A)$ 的元素 $1 - \varphi_X$，其中X运行于A的有限子集的集合，$\varphi_X$是X的特征函数）。由此推论，在阶中，对于E的子集有界（对于阶结构），它对于拓扑$\mathscr{T}_0(E)$（TVS，III, §1, No. 2）有界是充分必要的。证明 E 上对于拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$ 有界且收敛的每个滤波器对于阶结构收敛到相同的极限。最后，证明 E 上存在对于 $\mathscr{T}_0(E)$ 收敛但无界的滤波器。