习题 5, § 1

a) 如果每个 $x \in E$ 使得 $nx$ ($n$ 整数 $\geq 0$) 的集合在上面有界，则称有序向量空间 E 是阿基米德，必然是 $\leq 0$ (A, VI, §1, Exer. 31)。证明这个条件等价于：通过0的任何平面经过与E的元素$\geq 0$的凸锥P的交是一个闭角扇形。证明有序向量空间是阿基米德，它与完全格序空间 (cf. A, VI, §1, Exer. 31) 的子空间同构是充分必要的。

b) 令F为$\mathbf{R}$上定义的实值函数的Riesz空间$\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$，并令H为$\mathbf{R}$上有界函数的子空间$\mathscr{B}(\mathbf{R})$； H 是 F 的孤立子空间（实施例 4）。证明 Riesz 空间 $E = F/H$（例 4）不是阿基米德：更准确地说，证明对于 E 的每个元素 $x \geq 0$，都存在一个 $y \in E$，使得对于每个整数 $n \geq 0$ 都有 $y \geq nx$。