习题 3, § 2

令 E 为完全格序的空间。

a) 证明 E 上对于拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$ (§1, Exer. 10) 连续的每个线性形式 $L$ 都是相对有界的，并且 $|L|$ 对于 $\mathscr{T}_0(E)$ 是连续的（通过矛盾论证，在注意到上对于每个 $x \in E$ 元素 $x/n$ 的序列趋于 0，因为 $n$ 趋于无穷大（对于拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$）。

b) 设 A 为 A 上任意无限集合、$\mathscr{U}$ 的超滤器，其集合具有空交。在全格序空间 $E = \mathscr{B}(A)$ 上，考虑正线性形式 $x \mapsto \lim_{\mathscr{U}} x(t)$；证明这个线性形式对于拓扑 $\mathscr{T}_0(E)$ 来说不是连续的。