习题 5, § 2

a) 令 E 为 Riesz 空间，H 为 E 的孤立线性子空间（$§ 1$，Exer. 4）。设$\Omega$为E上相对有界线性形式的空间，并令$\Theta$为线性形式$L \in \Omega$的$\Omega$由……组成子空间，即H上的零。证明$\Theta$是孤立的$\Omega$的子空间，并且$\Theta$是Riesz 空间 E/H上相对有界线性形式的空间的完全晶格有序的空间同构。

b) 对于 E 的线性映射 $u$ 到 Riesz 空间 F，以下条件是等价的：

$\alpha ) \ u(\sup(x, y)) = \sup(u(x), u(y));$ $\beta ) \ u(\inf(x, y)) = \inf(u(x), u(y));$ $\gamma ) \ u(x^+) = (u(x))^+;$ $\delta )$ 关系 $\inf(x, y) = 0$ 意味着 $\inf(u(x), u(y)) = 0$。

然后可以说 $u$ 是一个格子线性映射。

c) 对于 E 的线性子空间 H 在孤立子空间 $\neq E$ 的集合中最大，它是形式 $\mathrm{Ker}(f)$ 是充分必要的，其中 $f$ 是格子线性形式 $\neq 0$。 （利用 GT、V、$§ 3$、Exer.1。）

d) 给出 Riesz 空间的例不减少到 0，包含没有最大孤立子空间（cf. $§ 1$，Exer. 5 b））。