习题 6, § 2

令 E 为 Riesz 空间，$\Omega$ E 上相对有界线性形式的完全晶格有序空间，F 为 $\Omega$ 的共晶格子空间（$§ 1$，Exer.3）。对于每个$x \in E$，F到$\mathbf{R}$的映射$x' \mapsto \langle x, x' \rangle$是F上相对有界的线性形式$u_x$，映射$x \mapsto u_x$是E到完全格序的递增线性映射 F 上相对有界线性形式的空间 $\Omega'$。在阶中，$x \mapsto u_x$ 是 E 的同构到 $\Omega'$ 的共晶格子空间，也就是说，$u_x > 0$ 隐含$x > 0$，并且$u_{\sup(x, y)} = \sup(u_x, u_y)$，验证以下两个条件是必要且充分的：E中每一个$x > 0$为1°，F中存在一个$x' > 0$使得$\langle x, x' \rangle > 0$； 2° 对于 E 中的每个元素 $y \geq 0, z \geq 0$ 对，对于 F 中的每个数 $\varepsilon > 0$ 和每个 $x' \geq 0$，存在 F 的两个元素 $y' \geq 0, z' \geq 0$，使得 $x' = y' + z'$ 和 $\langle y, y' \rangle + \langle z, z' \rangle \leq \varepsilon$。 （观察一下，如果第二个条件得到验证，并且如果$v$是F上的正线性形式，使得$v \geq u_x$，则$v(x') \geq \langle x^+, x' \rangle - \varepsilon$适用于F中的每个$x' \geq 0$和每个$\varepsilon > 0$。）

如果满足条件 2° 但不满足条件 1°，则 $x \in E$ 的集合使得所有 $x' \in F$ 的 $\langle x, x' \rangle = 0$ 是 E 的孤立线性子空间 H。通过求商，映射 $x \mapsto u_x$ 那么Riesz 空间 E/H 的定义同构到 $\Omega'$ 的共晶格子空间上。

证明当 $F = \Omega$ 时，上述条件 2° 始终得到验证（利用 Exer.2）。