习题 1, § 1

a) 设 X 为局部紧致空间。证明 $\mathscr{K}_+(X)$ 中包含的局部凸空间 $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ 的每个紧凸子集 A 都是严格紧致的。 （考虑所有$f \in A,\ s = \sup_{f \in A} f$的集合的上包络函数，它在X上连续，并在X无穷大处在点处趋于0。对于X上的每个连续数值函数g，用P(g)表示$x \in X$ 的集合使得 $g(x) > 0$。证明 A 中存在函数 f，使得 $P(f) = P(s)$；为此，观察如果 $K_n$ 是 $x \in X$ 的紧集使得 $s(x) \geq 1/n$，则存在有限的数函数$f_{n,i} \in A$使得开集合$P(f_{n,i})$覆盖$K_n$。然后利用A是凸且闭的事实。）

b) 假设X中存在可数稠密子集D。证明$\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$的每个紧凸子集A都是严格紧致的。 （令U为$x \in X$的集合，使得存在$f \in A$，其中$f(x) \neq 0$，它是X中的开集合。证明，利用A是Baire空间的事实，存在函数 $g \in A$ 使得 $g(x) \neq 0$ 对于所有 $x \in U \cap D$。）