习题 15, § 1

设$X$为非紧局部紧空间；在$X$上有界测度的空间$\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$上，由范数$\|\mu\|$定义的Banach空间$\mathscr{C}^0(X; \mathbf{C})$、拓扑的对偶称为*超强*拓扑和拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}), \mathscr{C}^0(X; \mathbf{C}))$*弱*拓扑。

a) 证明如果 $X$ 是仿紧的，那么 $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ 上的弱拓扑比模糊拓扑严格是更细（与 Exer.2 比较）。

b) 表明在 $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ 上，超强拓扑严格比准强拓扑更细（观察到，对于后者，$\varepsilon_x$ 趋向于 $0$，而 $x$ 在 $X$ 无穷大处趋于点）。

c) 如果 $X$ 在无穷大处可数且不是离散的，则证明在 $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ 上，弱拓扑和准强拓扑不可比较。

d) 在 $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ 中，每个弱有界集合都对超强拓扑有界，但可能存在对准强拓扑有界但不是弱有界的集合。