习题 4, § 1

a) 令$B_n$为欧氏空间$\mathbf{R}^n$中的闭球单位，令$A_n$为形式的函数$f \in \mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$的集合

与 $|\lambda| \leq 1/n$ 和 $\|a\| \leq 1/n$。 集合 $A_n$ 在 Banach 空间 $\mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$ 中是凸紧的，并且具有以下性质：对于任意函数 $f_1, \ldots, f_n$ 属于到 $A_n$，都存在点 $x \in B_n$ 这样的那个$f_1(x) = \ldots = f_n(x) = 0$；然而，存在$n+1$函数$g_1, \ldots, g_{n+1}$属于到$A_n$，它们在$B_n$的任何点处不同时存在零（可以考虑$\overset{\circ}{B}_n$的映射$x \mapsto x/(1-\|x\|^2)$） $\mathbf{R}^n$）。 b) 令$B'_n$为配备离散拓扑的集合$B_n$，并令$D_n = \beta B'_n$。设 Y（分别为 $Y'$）为空间 $D_n$（分别为 $B'_n$）的局部紧拓扑和空间。显示$\beta Y = \beta Y'$。 c) 对于每个整数$n$，令$K_n \subset \mathscr{C}(D_n; \mathbf{R})$为限制到$B'_n = B_n$属于到$A_n$的所有实值函数中的集合。令K为函数形成的$\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$的子集，对于每个$n \in \mathbf{N}$，其限制到$D_n$属于到$K_n$。证明 K 是 Banach 空间 $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$ 的紧凸子集。对于 K 中函数的每个有限族 $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$，令 $W(f_1, \ldots, f_n)$ 为 $y \in Y'$ 的集合，使得 $f_i(y) = 0$ 对应 $1 \leq i \leq n$。显示离散空间 $Y'$ 上滤波器 $\mathfrak{W}$ 的 $W(f_1, \ldots, f_n)$ 形式基。由此，结论存在点$\omega \in \beta Y - Y$使得$\beta Y$中的$\omega$的邻域过滤器在$Y'$上的迹是比$\mathfrak{W}$过滤器更细。 设定$X = \beta Y - \{ \omega \}$，由此推出$K \subset \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$，并在习题2、结论的帮助下，在$\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$集合中K是*凸且紧的，但不是严格紧的*。