习题 8, § 1

设$X$为局部紧致空间；对于$X$的每个紧凑子集$K$和每个整数$n > 0$，让$S_{K,n}$是函数$f \in \mathscr{H}(X; \mathbf{C})$的集合，并包含在$K$中的支持，使得$\|f\| \leq n$。我们称$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$拓扑上的准强拓扑一致收敛于集合$S_{K,n}$。它比强拓扑（当$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$被视为空间$\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$、cf.TVS、III, §3, No. 1的对偶时）更粗糙，并且当$X$是仿紧时与它相同。

a) 证明$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$上的拟强拓扑由半范数$\mu \mapsto |\mu|(f)$定义，其中$f$超过$\mathscr{H}_+(X)$； 空间$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$对于准强拓扑来说已经完成了。对于准强拓扑，$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的有界子集是$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的等连续子集。

b) 证明在$\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$上，准强拓扑与有序的向量空间结构（TVS，II, §2, No. 7）相容的。由此推论，如果$H$在上面有界的$\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$中是递增有向集合，则$\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$中$H$的上界与极限相同，对于其拟强拓扑，其截面过滤器（*loc.cit.*）。