习题 9, § 1

令$X$为$\mathbf{R}$的紧致区间$[0,1]$。

a) 令 $\mu_n$ 为由点 0 处的质量 +1 和点 $1/n$ 处的质量 -1 定义的度量。证明序列$(\mu_n)$在$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$中模糊地趋于0，但$|\mu_n|$不模糊地趋于0。

b) 设$\mu$为$X$的勒贝格测度，并设$g_n(x) = \sin nx$。证明测度 $(1 - g_n) \cdot \mu$ 为正，并且模糊地趋向于 $\mu$，因为 $n$ 趋于无穷大，但不强烈趋于 $\mu$。由此，推断出模糊拓扑和强拓扑（这里与准强拓扑相同）在$\mathscr{M}_+(X)$上诱发的拓扑是不同的（cf.Exer.10）。