习题 5, § 2

设 X 为紧凑的空间。如果有限支撑 $\left( \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon_{x_i} \right)/n$ 的度量的序列在 $\mathscr{M}_+(X)$ 中模糊地趋于极限 $\mu$，则称 X 的点的无限序列 $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 具有极限分布；有人还说，序列$(x_n)$对于措施$\mu$是均匀分布的。如果 T 是 Banach 空间 $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ 中的总计集合，则证明对于序列 $(x_n)$ 具有极限分布，对于每个$\mathbf{C}$，序列 $\left( \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \right)/n \right)$ 趋于极限是充分必要的函数$f \in T$。特别地，证明如果X是可度量紧致空间，则对于X的点的每个序列$(x_n)$，都存在一个具有极限分布的子序列$(x_{n_k})$。

如果X是$\mathbf{R}$的区间$[0, 1]$，并且如果$\mu$是X上的勒贝格测度，则表明要使X的点的序列$(x_n)$均匀分布于$\mu$，有必要且足以使其在 GT、VII, §1、Exer 意义上均匀分布 mod 1。 14. 为此，对于每个整数$m \in \mathbf{Z}$，对于$m \neq 0$，序列$\left( \left( \sum_{k=0}^{n-1} e^{2i\pi mx_k} \right)/n \right)$趋于0是必要且充分的。由此重新推导出，特别是对于每个无理数数 $\theta$ (GT, VII, §1, Exer. 14)，序列 $x_n = n\theta - [n\theta]$ ($n \in \mathbf{N}$) 均分布 mod 1。当$\theta$是有理数时，它的极限分布是什么？比照。也 Ch. IV, §5, No. 12。