习题 3, § 4

a) 令$X, Y$为两个局部紧致空间、$K \subset X$、$L \subset Y$，两个紧集、$A$，以及空间$\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$的紧致子集。对于每个整数$n$，让$V_n$是$K$制服结构的随从，这样，对于每个对$(x', x'') \in V_n$，每个$y \in L$和每个函数$f \in A$，

对于所有对$(x', x'') \in V_n$和每个$f \in A$，令$C_n$为函数$y \mapsto n(f(x', y) - f(x'', y))$中的集合；表明对于所有$n \geq 1$，$C_n$的并$C$是$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$的相对紧凑的子集。

b) 对于$x \in K$和$f \in A$，令$B$为$C$的并和映射$y \mapsto f(x, y)$的集合，这是$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$的相对紧凑的子集。表明当$\nu$跑过$\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$中$B$的极$B^\circ$且$f$跑过$A$时，映射集合

$\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$比较紧凑。

c) 由b)推导出，当$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$、$\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$、$\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$具备严格紧收敛的拓扑时，$\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$到$\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$的映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$是连续的。