习题 4, § 1

令 $X$ 为局部紧致空间，$\alpha$ $X$ 上的有限数值函数 $\geqslant 0$，使得对于 $X$ 的每个紧致子集 $K$，$\sum_{x \in K} \alpha(x)$ 都是有限的；令$\mu$为群众$\alpha(x)$定义的$X$的正测度（第III, §1, No. 3、例I）。

a) 证明对于每一个函数$f \geqslant 0$，$X$上的下半连续，有$\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$，约定当$\alpha(x) = 0$和$f(x) = +\infty$时有$\alpha(x)f(x) = 0$。

b) 令$f \geqslant 0$为在$X$上定义的任意数值函数。证明如果 $\mu^*(f) < +\infty$，则 $\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$，与 a) 中的约定相同。 （参见锻炼 5。）