习题 8, § 1

a) 令$(\mu_n)$为局部紧凑空间X上测度$\geq 0$的递减序列，并令$\mu$为$\mathscr{M}_+(X)$中序列的下确界。证明如果 $f$ 是函数 $\geq 0$，使得 $\mu_n^*(f) < +\infty$ 从某个指标开始，则 $\mu^*(f) = \inf_n \mu_n^*(f)$（当 $g$ 是下半连续、正数，并且满足 $\mu^*(g) < +\infty$、注时，存在序列 $(h_m)$ 连续函数 $\geqslant 0$ 具有紧凑的支撑，使得

b) 在离散空间 $X = \mathbf{N}$ 上，令 $\mu_n$ 为通过在每个点 $m \geqslant n$ 处放置质量 +1 来定义的度量。证明$\mathscr{M}_+(X)$中递减序列$(\mu_n)$的下确界为0，但对于所有$n$来说$\mu_n^*(X) = +\infty$。