习题 11, § 4

a) 令$\Gamma$为集合$A$中子集中的任意集合。设形式$A$子集$\Psi$集合

其中$X_i$是$\Gamma$中的集合，$m$是任何整数$\geq 1$，$p$是任何整数$\geq 0$。证明最小的族$\Phi$包含$\Gamma$是$\Psi$中集合的有限并集合。

b) 令$\Delta$为$\Gamma$中集合的有限交的集合。 证明，对于每个向量空间$F$，由$\Gamma$生成的族集合特征函数线性组合（系数在$F$）集合与特征函数线性组合集合相同集合 $\Delta$。

c) 设$X$为$X$的紧凑子集的拓扑空间、$\Gamma$集合。证明由$\Gamma$生成的族与形式$A \cap \mathbf{C} B$$X$有限并子集集合相同，其中$A$和$B$为紧集。