习题 13, § 4

a) 令$X$为局部紧致空间，并令$\Gamma$为基，相对于紧集的$X$由……组成的拓扑。令$\mathscr{U}$为与$X$的拓扑兼容的统一结构，并令$\mathscr{S}$为该结构的随行人员的基本系统。令 $M \mapsto \lambda(M)$ 为定义在 $\Gamma$ 上的有限数值函数 $\geqslant 0$。对于每个紧集$K \subset X$和每个随行$V \in \mathscr{S}$，令$\alpha_V(K)$为数$\sum_i \lambda(U_i)$的下确界，对于$\Gamma$中由集合形成的$K$的所有有限覆盖$(U_i)$，这些都是小的阶$V$；假设当$V$超过$\mathscr{S}$时，数$\alpha_V(K)$的上界$\alpha(K)$是*有限*。证明在 $X$ 上存在一个测度 $\mu$（并且只有一个），使得对于每个紧集 $K$ 都有 $\mu(K) = \alpha(K)$（利用 Th. 5）。

b) 令$\Psi$为$X$的Borel子集的集合，$\Psi$的$\alpha$映射代入$[0,+\infty]$满足以下条件： (i) 如果$B_1, B_2$是$X$的两个不相交的Borel子集，则$\alpha(B_1 \cup B_2) = \alpha(B_1) + \alpha(B_2)$。 (ii) 如果$B$ 是$X$ 的紧子集，则$\alpha(B) < +\infty$。 (iii) 如果$B$是$X$的Borel子集，则$\alpha(B) = \inf \alpha(U)$，其中$U$超过$X$包含$B$的开子集的集合。

那么，$X$上存在一个且仅有一个正测度$\mu$，使得$\alpha(B) = \mu^*(B)$对于$X$的每个Borel子集$B$可以被紧集的序列覆盖。

c) 对于每个$B \in \Phi$、集合$\alpha(B) = 0$，如果$B$可以被紧集的序列覆盖，反之则为$\alpha(B) = +\infty$。则满足b)的条件(i)、(ii)、(iii)。一个有$\mu = 0$，因此如果$B$不能被紧集的序列覆盖，则$\alpha(B) \neq \mu^*(B)$。