习题 17, § 4

令 $X$ 为 GT、I, §9、Exer 中定义的局部紧凑空间。 11.

a) 设$H$是局部凸空间$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的紧子集，配备紧致收敛的拓扑；证明函数 $f \in H$ 均匀有界于 $X$ 并且存在 $c \in X$，使得对于每个 $x \geqslant c$，$H$ 的所有函数都是常数。 （通过矛盾论证；如果$H$的函数不统一限制在$X$上，则$X$的点有递增序列$(x_n)$，使得$\sup(|H(x_n)|) \geqslant n$，其中$|H(x_n)|$表示对于$f \in H$，$|f(x_n)|$的集合；观察序列$(x_n)$收敛于$X$。同样，对于每个$x \in X$，令$\delta(x)$为所有函数$f \in H$的振荡的上等。在区间$[x, \to[$；$\delta(x)$是有限的并且递减，因此存在$d \in X$使得$\delta(x)$对于$x \geqslant d$是常数。要看到这个常数$\beta$是零，通过矛盾证明之前，形成两个$X$的点的递增序列$(s_n), (t_n)$使得$s_n \leqslant t_n \leqslant s_{n+1} \leqslant t_{n+1}$和$H$中的函数的序列$(f_n)$使得$|f_n(s_n) - f_n(t_n)| \geqslant \beta/2$。）

特别地，$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$是$\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$和$\mathbf{C} \cdot 1$的直和。

b) 表明在 $X$ 上，每个测度都有紧支持（对于每个 $x \in X$，让 $f_x$ 为区间 $]\leftarrow, x]$ 的特征函数，它是连续的并且具有紧支持；考虑$X$ 递增函数 $|\mu|(f_x)$）。

c) 从a)和b)推导出，在$\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) = \mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}) = \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$中，$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的紧子集一致收敛的拓扑$\mathscr{T}$的有界集合是超强拓扑的有界集合（第1章） III, §1，Exer 15）。证明$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$对于拓扑$\mathscr{T}$来说不是准完备的（考虑$\varepsilon_x$对于$x \in X$的措施）；由此，推断出对于紧致收敛的拓扑，$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$既不是桶装的也不是天生的（cf.TVS，III, §4, No. 2，Th.1的Cor.4和下面的Exer.18）。

d) 证明在 $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ 拓扑 $\mathscr{T}_0$（Banach 空间 $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$ 拓扑的直极限）上与一致收敛的拓扑相同，并且配备此拓扑，$\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ 是完备的。 （令$V$为$\mathscr{T}_0$的0邻域；对于每个$x \in X$，令$r_x$为最大的数$> 0$，使得$V$包含所有连续的函数$f$在支持下包含在$]\leftarrow, x]$中并且使得$\|f\| \leqslant r_x$。 证明$X$中$r_x$的下确界是$> 0$，由证明存在不能存在$X$的点递增序列$(x_n)$使得$\lim_{n \to \infty} r_{x_n} = 0$。）