习题 23, § 4

在空间 $\mathbf{R}^n$ 上，令 $\mu$ 为勒贝格测度，$|x|$ 范数，使得此范数的单位球的测度等于 1，并且 $(x_k)_{k \geqslant 1}$ 是有界的不同点的无限序列可积集合 B 使得 $\mu(B) = 1$。对于每整数米，用$d_m$表示数$|x_i - x_j|$对于$1 \leqslant i < j \leqslant m$的下确界。表明

哪里

（通过矛盾论证，假设对于某些$\varepsilon > 0$，存在$m_0$，使得$m \geq m_0$有$md_m^n > h_n$，且$h_n = \alpha_n^{-1} + \varepsilon$。对于$1 \leq i < m$，令$B_i$为具有中心$x_i$和半径的球$\frac{1}{2} h_n m^{-1/n}$，对于$m \leq i \leq 2^n m$，令$B_i$为具有中心$x_i$且半径为$\frac{1}{2} h_n (2i^{-1/n} - m^{-1/n})$的球。证明$2^n m$球$B_i$是成对的不相交的，并评估它们的并的大小，使得使用欧拉-麦克劳林公式。）