习题 4, § 4

令 $\mu$ 为区间 $X = [0, 1]$ 上的勒贝格测度。

a) $X$ 中的定义一个无处稠密完美集合 $A$，其度量是任意数$\alpha$，使得$0 \leq \alpha < 1$（使用康托三元集合的构造的方法）。

b) 成对不相交的的 $X$ 序列 $(A_n)$ 中的定义无处稠密可积集合，使得 $\mu(A_n) = 2^{-n}$ 并且使得与 $B_n = \bigcup_{k=1}^n A_k$ 包含子集相邻的每个区间$A_{n+1}$ 尺寸为 $> 0$。如果$A = \bigcup_n A_n$，则证明$A$是第1测度的微薄集合，并且$\complement A$是可忽略不计的非微薄集合。

c) 设 $H = \bigcup_{n=0}^\infty A_{2n+1}$；表明，对于每个开区间 $I \subset X$，$I$ 与$H$ 和$\complement H$ 的交都有测度$> 0$。令 $f$ 函数几乎处处等于特征函数 $\varphi_H$；证明$X$上不存在连续函数的任何序列$(f_n)$，在$X$的每个点收敛，其极限等于$f$（注即$f$必然是不连续的）每$X$的点，并利用Exer 22 GT，IX, §5）。