习题 7, § 4

令 $\mu$ 为$X$ 的正测度。对于每个子集 $A \subset X$，特征函数 $\varphi_A$ 的较低积分（例 5）称为 $A$ 的内部测度，并表示为 $\mu_*(A)$。

a) 证明$\mu_*(A)$是$A$中包含的紧集测度的至高无上（论证如Th.4）。

b) 对于有限外测度$X$的每个子集$A$，证明存在两个可积集合$A_1, A_2$，使得$A_1 \subset A \subset A_2$和$\mu_*(A) = \mu(A_1), \mu^*(A) = \mu(A_2)$。为了使$A$可积，$\mu^*(A)$和$\mu_*(A)$有限且相等是必要且充分的。用同样的记号，证明

和

c) 设$A$是可积的集合；证明每有集合 $B \subset A$，就有 $\mu(A) = \mu^*(B) + \mu_*(A \cap \mathbf{C}B)$。

d) 令 $A$ 和 $B$ 为两个集合的有限外部测度，即不相交的。证明如果$C = A \cup B$，那么

还有那个

（对于后者不等式，约化到$\mu_*(A) = \mu_*(B) = 0$的情况，借助b）；如果 $A_2$ 和 $B_2$ 可积集合使得 $A \subset A_2, B \subset B_2, \mu^*(A) = \mu(A_2), \mu^*(B) = \mu(B_2)$，则证明 $\mu_*(C) \leq \mu(A_2 \cap B_2)$）。