习题 15, § 5

令 $\mu$ 为$X$ 的正测度。在 $X$ 上定义的数值函数 $f$（有限或非有限）如果是可测的并且 $\mu^*(f) = \mu_*(f)$ ($§ 4$, Exer. 5)，则称其为准可积。一则集合

再次，写 $\int f \, d\mu$ 代替 $\mu(f)$。

a) 证明如果 $f$ 和 $g$ 是准可积的，并且如果和 $\mu(f) + \mu(g)$ 被定义，那么 $f + g$ 几乎到处都有定义并且是准可积的，并且 $\mu(f + g) = \mu(f) + \mu(g)$。

b) 从a)推出，要使$f$准可积，$f$可测且数$\mu^*(f^+), \mu^*(f^-)$至少其中之一是有限的；然后，$\mu(f) = \mu^*(f^+) - \mu^*(f^-)$。