习题 2, § 5

令$\nu$为$\mathbf{R}$上的勒贝格测度，g将$\mathbf{R}$的连续映射引入$[0, 1]$，支持包含在$]-1, 2[$中且$[0, 1]$上等于1，并令$\mu$为$\mathbf{R}$上的$g \cdot \nu$测度。 集合 $H_0 \subset [0, 1]$ 在 Exer 中定义。 §4 中的 8 不是 $\mu$ 可测量的，但集合 $H = H_0 - 2$ $\mu$ 可以忽略不计。

a) 如果一个集合$f(x) = x - 2$，则$f$是连续的，$\varphi_H$是$\mu$可测的，但组合的函数$\varphi_H \circ f$不是$\mu$可测的。

b) 如果连续函数 $h$ 下的$\mu$ 可测量集合 H 中的一个集合 $h(x) = x + 2$、像 $h(H)$ 不是$\mu$ 可测量。