习题 25, § 5

a) 为了使 $\mathscr{S}_F$ 的子集 H 是预紧的，对于每个 ε > 0 和每个可积集合 A ⊂ X，存在紧集 M ⊂ F 和 A 的划分到有限的可积数集合 A_i，使得对于每个 f ∈ H，存在一个可积的集合 B ⊂ A，其测度为 μ(B) ≤ ε，并具有以下性质： f(A − B) 的每点 1° 与 M 的距离 ≤ ε； 集合 A_i ∩ C B 各2°，f 的振荡≤ ε。 b) 证明要使 $\mathscr{L}_F^1$ 的子集 H 相对拟紧，它在 $\mathscr{S}_F$ 中是预紧的且可等积是充分必要的。 c) 对于$\mathscr{L}_F^1$中函数的序列 (f_n) 是均值收敛于拓扑的柯西序列，证明 (f_n) 是测度收敛于拓扑的柯西序列是必要且充分的，并且f_n 的集合是等可积的。 d) 对于 p > 1，扩展这些属性为空间 $\mathscr{L}_F^p$。