习题 27, § 5

令 X 为局部紧致空间，μ 为 X 上的实测度，K 为 X 的紧致子集，(f_n) 序列定义在 K 上的有界 μ 可测数值函数并分隔 K 的点。 证明对于每个有界 μ 可测数值函数 g 定义在 K 上，且每个 ε > 0，f_n 中存在一个多项式 h = P((f_n))，以及 K 的紧致子集 K_1，使得 \|h\| ≤ 2\|g\|, |\mu|(K − K_1) ≤ ε, 并且对于每个 x ∈ K_1, |h(x) − g(x)| ≤ ε。 （将 K 的映射 x ↦ (f_n(x)) 考虑到 $\mathbf{R}^N$ 及其像的闭包，并适当地应用 Stone–Weierstrass 定理。）由此推导出，对于 1 ≤ p < +∞，f_n 中多项式的集合是稠密的$\mathscr{L}^p$(K)。当序列 (f_n) 被替换为分隔 K 的点的不可数有界可测函数族时，这些属性是否再次成立？