习题 28, § 5

令 X 为局部紧致空间，μ 为 X 上的正测度，P 集合为数值函数（有限或非有限）f ≥ 0，在 X 上定义且 μ 可测。令 λ 为函数，在 P 上定义，其中值 ≥ 0（有限或非有限），其为正齐次、递增且凸（cf. Ch. I、No. 1），此外，使得：对于每个可忽略的 μ 函数，1° λ(f) = 0 f≥0； 2° 对于 P 中函数的每递增序列 (f_n)，λ(\sup_n f_n) = \sup_n λ(f_n)。对于每个 Banach 空间 F，用 X 的 μ 可测映射 f 的 $\mathscr{L}_F$^λ 集合表示为 F，使得 λ(|f|) 是有限的。证明 λ(|f|) 是 $\mathscr{L}_F$^λ 上的半范数，并且 $\mathscr{L}_F$^λ 对于由该半范数定义的拓扑是完备的。