习题 29, § 5

令 μ 为局部紧致空间 X 的测度。对于在 X、映射 f'_μ 上定义的每个 μ 可测数值函数 f ≥ 0 ： $\mathbf{R}_+$ 的 t ↦ |\mu|^*(f([t, +∞])) 到 $\overline{\mathbf{R}}_+$ 是递减并且右连续。如果 $\nu$ 是第二个局部紧致空间 Y 上的测度，g 是在 Y 上定义的 $\nu$ 可测数值函数 $\geqslant 0$，则如果 $f'_\mu = g'_\nu$，则 f 和 g 被认为是可等测的（分别对于 $\mu$ 和 $\nu$）。 1 表示在 $\mathbf{R}_+$ 上定义的$f^*$（或$f^*_\mu$）函数，对于所有 $s \in \mathbf{R}_+$，等于数 a 的集合 $\overline{\mathbf{R}}_+$ 中的上界，使得 $f'_\mu(a) \geqslant s$（上界等于如果集合为空，则为 0）。

a) 证明函数 $f^*$ 是递减，在 $\mathbf{R}_+$ 中左连续，并且可与 f 等价（对于$\mu$ 测度和$\mathbf{R}_+$ 上的勒贝格测度）； $f^*$称为f的递减重排。

b) 如果$0 \leqslant f \leqslant g$是X上的两个$\mu$可测函数，则证明$f^* \leqslant g^*$。如果$(f_n)$是X上$\mu$可测量的函数$\geqslant 0$和$f = \sup_n f_n$的递增序列，则证明$f^*(s) = \sup_n f^*_n(s)$在点处，其中$f^*$是连续的。

c) 显示对于每个$\mu$-可测量数值函数$f \geqslant 0$、$|\mu|^*(f) = \int^* f^*(s) \, ds$。 （首先考虑步骤函数的情况，然后使用b）。）

d) 令 w 为在 $\mathbf{R}_+$ 上定义的数值函数，该数值是有限的（除了可能在点 $s = 0$ 处）和递减。对于X、集合上定义的每个$\mu$可测量数值函数$f \geqslant 0$

证明这个函数满足Exer的条件。 28.（为了证明它是凸的，首先考虑w是递减步骤函数的情况，使用c），然后传递到极限来处理一般情况。）

e) 使用 d) 的记号，将 $\mathscr{L}_F^\lambda$ 写成 $\mathscr{L}_F^{p,w}$，并将 X 的每个 $\mu$ 可测量映射 f 写成集合 $N_{p,w}(f) = \lambda(|f|)$ 到 F 中。证明如果 $f \in \mathscr{L}_F^{p,w}$ 并且如果对于每个 n， $f_n$ 表示如果 $|f| \leqslant n$ 则函数等于 f，如果 $|f| > n$ 则$nf/|f|$，则序列 $(|f_n|^*)$ 几乎处处趋向于 $|f|^*$，并且有 $\lim_{n \to \infty} N_{p,w}(f - f_n) = 0$。

如果 f 是 $\mu$-可忽略不计，则$N_{p,w}(f) = 0$。