习题 4, § 5

令$\mu$为$X = [0, 1[$上的勒贝格测度，并令$(H_n)$为X的划分到集合的无限序列，其中连续统的幂均不可测量，并且对于每个并集合 $H_n$、$\mu_*(H) = 0$ 的有限数的 H（§4，Exer.8）。令$\sigma_n$为$H_n$上区间$]1/(n+1), 1/n]$的双射。对于每个数 y 使得$0 < y \leq 1$，令n 为整数使得$1/(n+1) < y \leq 1/n$。 定义$f_y$将集合的特征函数缩减为点$\sigma_n(y)$；对于每个 $x \in X$，当 y 趋于 0 时，$f_y(x)$ 趋于 0。证明不存在任何测度 $> 0$ 的紧集 $K \subset X$ 使得 $f_y$ 在 K 上一致趋于 0。