习题 7, § 5

令$X$为$\mathbf{R}$中的区间$[0, 1]$，$F$为希尔伯特空间，其正交标准基$(e_t)_{0 \leqslant t \leqslant 1}$等价于$X$。

a) 证明$X$的映射$f$进入$F$，使得$0 \leqslant t \leqslant 1$的$f(t) = e_t$对于勒贝格测度是不可测量的，但是$F$中每个封闭球的$f$下的逆像是可测量的，并且， $F$、$\langle f, a' \rangle$ 上的每个连续线性形式 $a'$ 都可以忽略不计。

b) 令$H$为$X$中不可测的集合（§ 4，Exer.8）；证明如果$g = f \varphi_H$，则对于$F$上的每个连续线性形式$a'$，函数$\langle g, a' \rangle$可以忽略不计，但数值函数$|g|$不可测量。