习题 9, § 5

令$\mu$为$X = [0, 1]$的勒贝格测度；用$\mu$上的$\mathbf{R}$上的$F$向量空间表示，$X$上可测有限数值函数，配备逐点收敛的拓扑，这使其成为豪斯多夫局部凸空间。

a) 证明$F$中存在可数稠密子集（考虑$X$上连续数值函数的Banach空间$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中的稠密序列）。

b) 对于每个$x \in X$，令$f(x)$为由$\langle z, f(x) \rangle = z(x)$为所有$z \in F$定义的$F$的对偶$F'$的元素。证明当$F'$配备弱拓扑$\sigma(F', F)$时，对于每个$a \in F$，$f$不是$\mu$可测，但$\langle a, f \rangle$是$\mu$可测。