习题 10, § 6

a) 在 Banach 空间 $F$ 中，令 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为两个向量，使得 $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1$。证明对于每个数 $t$ 使得 $0 \leq t \leq 1$，以及对于每个 $p$ 使得 $1 \leq p < +\infty$， (1)

(2) （将$\mathbf{a} - t^p\mathbf{b}$表示为$\mathbf{a} - t\mathbf{b}$和$\mathbf{a} - \mathbf{b}$和注的线性组合，对于$0 \leq p \leq 1$来说，有$|\mathbf{a} - p\mathbf{b}| \geq 1 - p$和$|\mathbf{a} - \mathbf{b}| \leq 2|\mathbf{a} - p\mathbf{b}|$）。由此推论，如果$\mathbf{y}$和$\mathbf{z}$是$F$中的任意两个向量，则 (3) (4)

b) 证明映射$f \mapsto |f|^{(1/p)-1} \cdot f$是$\mathscr{L}_F^1$到$\mathscr{L}_F^p$的一致连续双射映射（利用不等式（3））。

c) 证明$\mathscr{L}_F^p$到$\mathscr{L}_F^1$的映射$f \mapsto |f|^{p-1} \cdot f$在空间$\mathscr{L}_F^p$的每个有界子集上均匀连续（利用不等式（4）和Hölder的不等式）。由此推断拓扑空间$\mathscr{L}_F^1$和$\mathscr{L}_F^p$是同胚的。