习题 13, § 6

对于每个数$p$使得$0 < p < 1$，将$X$的可测量映射$f$的$\mathscr{L}_F^p$集合表示为Banach空间$F$使得$N_p(f) < +\infty$。

a) 证明$\mathscr{L}_F^p$是向量空间，并且如果$B_a$表示$f \in \mathscr{L}_F^p$的集合，那么$N_p(f) \leqslant a$，集合$B_a$形式，因为$a$超过了集合数$> 0$，$0$邻域的基本系统，用于与$\mathscr{L}_F^p$的向量空间结构兼容的可度量拓扑。

b) 证明映射$f \mapsto |f|^{p-1} \cdot f$是$\mathscr{L}_F^p$到$\mathscr{L}_F^1$的一致连续映射，并且逆映射在$\mathscr{L}_F^1$的每个有界子集上一致连续（cf.Exer.10）。由此推断空间$\mathscr{L}_F^p$是完备的，并且$\mathscr{K}_F(X)$在$\mathscr{L}_F^p$中是稠密的。

c) 如果测度 $\mu$ 有界，则均值收敛的 $\mathscr{L}_F^1 \subset \mathscr{L}_F^p$ 和拓扑更细比 $\mathscr{L}_F^1$ 上由 $\mathscr{L}_F^p$ 引起的拓扑更大。

d) 将$\mu$作为$X = [0, 1]$的勒贝格测度。证明对于每个连续的函数$f \geqslant 0$，都存在分解$f = \frac{1}{2}(f_1 + f_2)$，其中$f_1$和$f_2$是$\mathscr{L}^p$的两个函数$\geqslant 0$，使得$N_p(f_1) = N_p(f_2) = 2^{1-(1/p)} N_p(f)$。由此推论，在$\mathscr{L}^p$中，每个邻域$B_a$的闭凸包络都是整个空间$\mathscr{L}^p$，因而$\mathscr{L}^p$上的每个连续线性形式都相同零。