习题 14, § 6

令$p$和$q$为任意两个有限实数$> 0$，并令$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$为在$\mathbf{R}^n$上定义的连续数值函数。

a) 令$\mu$为$X = [0, 1]$的勒贝格测度。在阶中，对于$n$函数$g_k \in \mathscr{L}^p$、函数$f(g_1, g_2, \ldots, g_n)$属于到$\mathscr{L}^q$的每一个系统，存在数$a > 0$是充分必要的，使得

（要证明条件是必要的，请通过反证法论证，假设对于每个整数$m > 0$，都存在点$(x_{1m}, \ldots, x_{nm})$或$\mathbf{R}^n$，使得

证明在成对不相交的区间的 X 序列 $(A_m)$ 中存在这样的情况：对于每个 $t \in A_m$，在设定 $g_k(t) = x_{km}$ 上，对于每个点 t $g_k(t) = 0$，不存在属于到任何$A_m$ 中，函数 $g_k$ 中的每一个都会属于到 $\mathscr{L}^p$，但 $f(g_1, \ldots, g_n)$ 不会属于到 $\mathscr{L}^q$。）

b) 令$\mu$为$\mathbf{R}$的勒贝格测度。在阶中，对于n函数$g_k \in \mathscr{L}^p$、函数$f(g_1, \ldots, g_n)$属于到$\mathscr{L}^q$中的每一个系统，存在数$b > 0$是充分必要的，使得

（同样方法）。