Bourbaki

习题 18, § 6

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积分, IV, p. 139

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令XX为局部紧凑空间，μ\mu为XX的正测度，ff为μ\mu可测量的数值函数。

a) 令(an)n∈Z(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}为实数中的序列，λ\lambda为有限的实数；每n∈Zn \in \mathbf{Z}、集合

un(x)=an+⌊λlog⁡∣f(x)∣⌋f(x)if f(x)≠0 and f(x)≠±∞un(x)=0for the other values of x∈X u_n(x) = a_{n+\lfloor \lambda \log |f(x)| \rfloor} f(x) \quad \text{if } f(x) \neq 0 \text{ and } f(x) \neq \pm \infty \\ u_n(x) = 0 \quad \text{for the other values of } x \in X
（其中[t][t]表示有限实数tt的积分部分）。证明 unu_n 是 μ\mu 可测的，并且对于每个有限的实数 cc 使得 cλ<1c\lambda < 1，
∑n=−∞+∞∫∗∣un(x)∣ecxdμ(x)≤e∣c∣∫∗∣f(x)∣1−cλdμ(x)⋅(∑n=−∞+∞ecn∣an∣). \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int^* |u_n(x)| e^{cx} d\mu(x) \leq e^{|c|} \int^* |f(x)|^{1-c\lambda} d\mu(x) \cdot \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{cn}|a_n| \right).

b) 令p′,p′′p', p''为两个有限的数>0> 0、tt实数，使得0<t<10 < t < 1，并令pp为由1/p=(1−t)/p′+t/p′′1/p = (1-t)/p' + t/p''定义的实数。对于每个数 α>0\alpha > 0，集合

1/Kα=inf⁡(∑n=−∞+∞∣eαtnan∣p′)(1−t)/p′(∑n=−∞+∞∣e−α(1−t)nan∣p′′)t/p′′, 1/K_\alpha = \inf \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |e^{\alpha tn} a_n|^{p'} \right)^{(1-t)/p'} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |e^{-\alpha(1-t)n} a_n|^{p''} \right)^{t/p''},
下确界接管有限实数的所有绝对收敛级数 (an)n∈Z(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}，使得 ∑n=−∞+∞an=1\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n = 1。表明 ()
Np(f)≤Kα⋅inf⁡F(u) N_p(f) \leq K_\alpha \cdot \inf F(u)
(*)
Np(f)≥Kαe−α⋅inf⁡F(u), N_p(f) \geq K_\alpha e^{-\alpha} \cdot \inf F(u),
其中u=(un)n∈Zu = (u_n)_{n \in \mathbf{Z}}超过函数属于的序列到Lp′∩Lp′′\mathscr{L}^{p'} \cap \mathscr{L}^{p''}的集合，使得级数(un(x))n∈Z(u_n(x))_{n \in \mathbf{Z}}几乎处处与和f(x)f(x)绝对收敛；对于每个具有这些属性的序列 uu，有一个集合
F(u)=(∑n=−∞+∞(Np′(eαtnun))p′)(1−t)/p′(∑n=−∞+∞(Np′′(e−α(1−t)nun))p′′)t/p′′ F(u) = \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (N_{p'}(e^{\alpha tn} u_n))^{p'} \right)^{(1-t)/p'} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (N_{p''}(e^{-\alpha(1-t)n} u_n))^{p''} \right)^{t/p''}
在公式 () 和 (*) 中，下确界被具有前述性质的序列 u=(un)u = (u_n) 的集合接管。 （要证明 ()，请使用 Hölder 的不等式；要证明 (*)，请使用 a) 两次，并使用 cc 和 λ\lambda 中合适的选择。）特别是，KαK_\alpha 对于所有 α>0\alpha > 0 都是有限的。

c) 令 p′,p′′,q′,q′′p', p'', q', q'' 为有限数 ≥1\geq 1, tt 数，使得 0<t<10 < t < 1，并让

1p=1−tp′+tp′′,1q=1−tq′+tq′′. \frac{1}{p} = \frac{1-t}{p'} + \frac{t}{p''}, \quad \frac{1}{q} = \frac{1-t}{q'} + \frac{t}{q''}.
令YY为第二个局部紧凑空间，ν\nu为YY的正测度，并令ww为H(X;R)\mathscr{H}(X; \mathbf{R})的线性映射进入向量空间（非拓扑）S(Y,ν;R)\mathscr{S}(Y, \nu; \mathbf{R})为ν\nu可测量的有限数值函数 YY。假设：1∘1^\circww映射H(X;R)\mathscr{H}(X; \mathbf{R})转化为Lq′(Y;R)∩Lq′′(Y;R)\mathscr{L}^{q'}(Y; \mathbf{R}) \cap \mathscr{L}^{q''}(Y; \mathbf{R})；每函数 f∈H(X;R)f \in \mathscr{H}(X; \mathbf{R}) 2∘2^\circ，
Nq′(w(f))≤M′Np′(f)andNq′′(w(f))≤M′′Np′′(f). N_{q'}(w(f)) \leq M' N_{p'}(f) \quad \text{and} \quad N_{q''}(w(f)) \leq M'' N_{p''}(f).
由此，结论ww也映射H(X;R)\mathscr{H}(X; \mathbf{R})变成Lq(Y;R)\mathscr{L}^q(Y; \mathbf{R})并且
Nq(w(f))≤M⋅Np(f) N_q(w(f)) \leq M \cdot N_p(f)
与
M≤M′1−tM′′t M \leq {M'}^{1-t} {M''}^t
（M. Riesz 的不等式）。 （如b中那样将形式∑nun\sum_n u_n写成ff），并将级数与一般项w(un)w(u_n)考虑；使用 b) 的不等式 () 和 (*)。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

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