习题 20, § 6

a) 设 Y 为度量空间；对于每个$y \in Y$和每个$r > 0$，用$B(y; r)$表示Y中具有中心$y$和半径$r$的开球。令 $\mathscr{G}$ 为 Y 中开球的集合，其直径为形式 $\mathbf{R}$ 中的 有界 集合，因此，对于每对不相交的球属于的序列 $(B(y_n; r_n))$ $\mathscr{G}$，一个有$\lim_{n \to \infty} r_n = 0$。证明如果 M 是 $B \in \mathscr{G}$ 球中的并，则存在序列成对的不相交的球 $B(y_n; r_n) \in \mathscr{G}$，使得球 $B(y_n; 4r_n)$ 形式覆盖 M。（如果 $k > 0$ 是上界，则$B \in \mathscr{G}$球半径的集合，定义除以归纳，在球$B(y_{hj}; r_{hj}) \in \mathscr{G}$族$(\mathfrak{F}_h)$的$h$序列上，使得$\mathfrak{F}_h$在（有限）球族中最大属于到 $\mathscr{G}$，成对不相交的和不相交的从球属于到$\mathfrak{F}_i$ $i < h$，半径在 $(2/3)^{h+1}k$ 和 $(2/3)^hk$ 之间。）

b) 令X为可度量的局部紧凑空间，$d$为X上与其拓扑兼容的度量；对于该公制，再次用 $B(x; r)$ 表示具有中心 $x$ 和半径 $r > 0$ 的开球，并用 $\delta(A)$ 表示公制 $d$ 的 X 的子集 A 的直径。令$\mu$为X满足以下条件的正测度：1°每个开球都是$\mu$可积； 2° $\mu(B(x; 4r)) \leq K \cdot \mu(B(x; r))$，其中 K 是独立于 $x$ 和 $r$ 的常数 $> 1$； 3° 如果开球的序列$(B_n)$使得$\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = 0$，则$\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = 0$； 4° 如果开球的序列$(B_n)$使得$\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = +\infty$，则$\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = +\infty$。

令 $f \in \mathscr{L}^p(X; \mu)$ 为函数且值 $\geq 0$ ($1 < p < +\infty$)；对于每个$x \in X$，集合

其中 B 跑过集合个空球，其中中心 $x$。证明$\overline{f}$是有限的并且在X上是下半连续的。

c) 设$f^*$为$f$的递减重排（§5，Exer.29）；对于 $t > 0$、集合

递减连续函数使得$f^* \leq \beta_f$；当 $t$ 趋于 0 或 $+\infty$ 时，有 $\beta_f(t) = o(t^{-1/p})$（例 19 a））。最后，用 $\gamma_f$ 表示 $\beta_f$ 的倒数函数，定义在区间 $]0, \beta_f(0+)[$ 上，如果 $\beta_f(0+)$ 是有限的，则用 0 扩展到该区间的外部。

对于每个$t > 0$，用$x \in X$的$M_t$集合表示，使得$\overline{f}(x) > t$。显示$\mu(M_t) \leq K \cdot \gamma_f(t)$。 （对于每个 $x \in M_t$，令 $B_x$ 为一个具有中心 $x$ 的开球，使得 $\int_{B_x} f(y) d\mu(y) \geq t \cdot \mu(B_x)$；将 a) 应用于球族 $B_x$。）

d) 从 c) 推出

（注，第一个成员也可以写成$\int_0^{+\infty} p t^{p-1} (\mu(M_t)) dt$，并利用哈代的不等式（Exer.19）。）