习题 5, § 6

a) 令 $\mu$ 为区间 $X = ]0, +\infty[$ 上的勒贝格测度。对于每个数$p$，使得$0 < p \leq +\infty$，给出$X$上可测量的函数$f \geq 0$的例，使得数$r$（$0 \leq r \leq +\infty$）的集合，其中$N_r(f) = (\int f^r d\mu)^{1/r}$是有限的，是区间$]0, p[, ]0, p] , ]p, +\infty[ , [p, +\infty]$之一（取0或$+\infty$邻域中形式$x^\alpha (\log x)^\beta$的$f$函数）；由此推断，对于$]0, +\infty[$中包含的每个区间I，都存在可测量的函数$f \geq 0$，使得I与$r > 0$的集合相同，其中$N_r(f) < +\infty$（考虑两个和） 函数，其中I具有上述四个形式之一）。

b) 对于区间$]0, 1[$上的勒贝格测度，类似地给出函数$f$的例，使得数$r > 0$的集合I，其中$N_r(f) < +\infty$是$]0, +\infty[$中包含的任意区间左端点 0 。