习题 4, § 7

设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，X E 中的紧凸集合，$\mathscr{P}$ 集合有限数值函数连续且凸于 X； $\mu \prec \nu$表示$\mathscr{P}$在$\mathscr{M}_+(X)$上定义的前序关系（Exer.2）。

a) 证明$\mu \prec \nu$在$\mathscr{M}_+(X)$上是序关系（使用TVS的Exer.29，II, §5）并且对于每个$x \in X$，关系$\varepsilon_x \prec \mu$等价于说，$\mu$的质量为1并且$x$是$\mu$的重心。因此，对于质量 1 的每个最大测量值 $\mu$（对于前面的序关系），存在且仅有一个 $x \in X$ 使得 $\varepsilon_x \prec \mu$。相反，每个 $z \in X$ 是至少一个最大度量的重心。为了使$x \in X$成为X的极值点，$\varepsilon_x$是极大值是必要且充分的。

b) 设$\mu$为X、$f$函数在$\mathscr{C}_+(X)$的最大测度。证明对于每个 $\varepsilon > 0$，X 上存在连续凸函数 $g$，使得$0 \leq g \leq f$ 和 $\mu(g) \geq \mu(f) - \varepsilon$（使用 Exers.3 b) 和 2 d)）。由此推论$\mu$的支持包含在X的极值点的集合闭包中。

c) 设$\mu$为$\mathscr{C}_+(X)$中X、$(f_n)_{n \geq 1}$递减序列对函数的最大测度。证明，如果对于每个极值点 $x \in X$，序列 $(f_n(x))$ 趋于 0，则 $\lim_{n \to \infty} \mu(f_n) = 0$（使用 b）到连续凸函数的构造递减序列 $(g_n)$，使得 $0 \leq g_n \leq f_n$和$\mu(g_n) \geq \mu(f_n) - \varepsilon$对于所有$n$，并表明对于每个$y \in X$，序列$(g_n(y))$趋于0。

d) 由c)推导出，如果$A \subset X$ 包含没有极值点且是X的紧致子集的序列$(K_n)$并，则每一个都是可数的开交 X 中的集合，然后对于每个最大度量 $\mu$ $\mu(A) = 0$。

e) 设$\mathscr{A}$为X上连续函数的向量空间，即E上连续仿射线性函数的限制到X。关系$\lambda \prec \mu$意味着$\lambda(h) = \mu(h)$对于每函数$h \in \mathscr{A}$；对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，函数$h \in \mathscr{A}$的下包络线$S(f)$，使得$f \leq h$也是函数$g \in -\mathscr{P}$的下包络线$f \leq g$。对于每个$x \in X$，关系$\varepsilon_x \prec \mu$相当于所有$h \in \mathscr{A}$的关系$h(x) = \langle h, \mu \rangle$； X 的极值点与 $\mathscr{A}$-极值点相同。如果 $f \in \mathscr{P}$ 那么，对于每个 $x \in X$，

(*)

（使用Exer.2 b））。如果仅假设 $f$ 在 X 上是凸且上半连续的（Exer.1 b 的记号），则该公式不再一定有效，考虑函数 $f$ 在 K 中I 的像上等于 1，在其他地方等于 0。

f) 表明，当第二个成员中的一个极限自身对于以 $x$ 作为重心的离散测度 $\mu$ 时，公式 (*) 再次有效。