习题 8, § 7

一般记号和假设是 Exer 的。 6、集合$S = \check{S}_{\mathscr{H}}(X)$。如果存在函数$g \in \mathscr{H}^c$使得$f = g|S$（则函数是唯一的），则函数$f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$被称为$\mathscr{H}\text{-resolvent}$。

a) 证明以下条件在函数 $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ 上是等价的： (i) $f$ 是 $\mathscr{H}\text{-resolvent}$。 (ii) 对于每个$x \in X$，$\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$。 (iii) 对于$\mathscr{M}_x^S$中每$x \in X$和每对措施$\mu_1, \mu_2$，一个人有$\int f d\mu_1 = \int f d\mu_2$。 （利用Exer.6 b）和c）。） b) 证明下列性质是等价的： (i) 每个函数 $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ 都是 $\mathscr{H}\text{-resolvent}$。 (ii) 每 $x \in X$ 和每函数 $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$、$\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$。 (iii) 集合 $\mathscr{M}_x^S$ 约化至单个元素。 (iv) 集合 $\mathscr{H}^c$ 是格序的。 (v) 对于每个函数 $u \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ (Exer. 6 g))，$\mathscr{H}^c$ 中存在 $u$ 的下确界 $h_u$。 （为了证明 (iv) 蕴涵 (i)，将 Exer.7 d) 应用于$\mathscr{H}^c$、证明，对于每个点 $s \in S$、线性形式 $h \mapsto h(s)$ 都是$\mathscr{H}^c$ 中的格子；然后使用 Stone 的定理和 Exer。 6c).看出 (i) 蕴含 (v)，注 $\mathscr{H}^c \subset \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ 并考虑唯一的函数 $h_u \in \mathscr{H}^c$，使得 $h_u|S = u|S$。看出 (v) 蕴含 (iv)，注如果 $h \in \mathscr{H}^c$ 那么 $-h^- = \inf(h, 0) \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$，并将 (v) 应用于 $u = -h^-$。）

c) 如果b)中的条件满足，且$\gamma_x$是$\mathscr{M}_x^S$的唯一元素，则证明X的映射$x \mapsto \gamma_x$到$\mathscr{M}_+(X)$（配备模糊拓扑）是连续的；由此，推断出一个人有$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X) = \check{S}_{\mathscr{H}}(X)$（注即$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$中的$\gamma_x = \varepsilon_x$）。

d) 在阶中，每一个函数$f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$都是限制到函数$h \in \mathscr{H}$的S，$\mathscr{H}$在$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$内闭且是格序的是充分必要的。