习题 8, 附录 0

设E和F是两个实希尔伯特空间。在 $E \otimes F$ 上存在一个 Hausdorff pre-Hilbert 空间结构，使得 $(x_1 \otimes y_1 | x_2 \otimes y_2) = (x_1 | x_2) \cdot (y_1 | y_2)$ 对应于 E 中的 $x_1, x_2$ 和 F 中的 $y_1, y_2$。 $E \otimes_2 F$ 表示 $E \otimes F$ 的希尔伯特空间完成。

a) 如果$E'$（或$F'$）是E（或F）的闭合线性子空间，则表明$E' \otimes_2 F'$可以与由元素$x \otimes y$生成的$E \otimes_2 F$的闭合线性子空间识别，使得$x \in E'$和$y \in F'$。

b) 假设 E（或 F）是闭线性子空间（TVS，V, §2, No. 2，Def. 2）族 $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$（或 $(F_\beta)_{\beta \in B}$）的希尔伯特和。证明$E \otimes_2 F$是闭线性子空间族$(E_\alpha \otimes_2 F_\beta)_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$的希尔伯特和。

c) 如果 $(e_i)_{i \in I}$（或 $(f_j)_{j \in J}$）是 E（或 F）的正交基，则族 $(e_i \otimes f_j)_{(i, j) \in I \times J}$ 是 $E \otimes_2 F$ 的正交基。

d) 令 G 为真正的希尔伯特空间。 定义典范同构的 $E \otimes_2 F$ 到 $F \otimes_2 E$ 以及 $(E \otimes_2 F) \otimes_2 G$ 到 $E \otimes_2 (F \otimes_2 G)$。

e) 令$E_1$和$F_1$为两个实希尔伯特空间，以及$u : E \to E_1, v : F \to F_1$连续的线性映射。证明$u \otimes v$可以通过连续性将$E \otimes_2 F$的连续线性映射$u \otimes_2 v$扩展到$E_1 \otimes_2 F_1$，并且$\|u \otimes_2 v\| = \|u\| \cdot \|v\|$。