习题 2, § 1

设 T 为集合，p 为 T 上的负担。如果 $p(f) = 0$（分别为 $p(A) = 0$），则称函数 $f \in \mathscr{F}_+(T)$（分别为 T 的子集 A）p 可忽略不计。 a) 令 f 和 g 在 $\mathscr{F}_+(T)$ 中，并令 t 为正实数，使得 $f \leq t \cdot g$。如果 g 可以忽略 p，那么 f 也可以忽略不计。 p-可忽略的函数的和和序列的上包络线是 p-可忽略的。 b) p-可忽略的集合的每个子集都是 p-可忽略的，p-可忽略的集合的序列（有限或无限）中的并也是如此。 c) 令$f \in \mathscr{F}_+(T)$。对于每个有限的实数$a > 0$，用$t \in T$的$T_a$集合表示，使得$f(t) \geq a$。证明$p(T_a) \leq a^{-1} \cdot p(f)$。由此，推导出 f 是 p-可忽略的当且仅当 $t \in T$ 的集合使得 $f(t) \neq 0$ 是 p-可忽略的。 d) 设 $f \in \mathscr{F}_+(T)$。如果 $p(f)$ 是有限的，则 $t \in T$ 的集合使得 $f(t)$ 是无限的，p 可忽略不计。 e) 设 f 和 g 在 $\mathscr{F}_+(T)$ 中。如果 $t \in T$ 的集合使得 $f(t) \neq g(t)$ p 可忽略不计，则 $p(f) = p(g)$。